Неотрицательные суммируемые функции

Эта статья находится в разработке!

Пусть есть пространство с [math]\sigma[/math]-конечной, полной мерой, [math]E[/math] - произвольное измеримое множество, [math]f[/math] - измеримая функция, такая что [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math]. Рассмотрим совокупность [math]e \in E[/math] - измеримо, [math]\mu e \lt +\infty[/math], [math]f[/math] - ограничена на [math]e[/math]. В такой ситуации существует [math]\int \limits_{e} f d\mu[/math] — интеграл Лебега. Следовательно [math]\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu[/math] — интеграл по [math]E[/math]. Если этот интеграл конечен, то [math]f[/math] называется суммируемой на [math]E[/math]. Класс [math]e[/math] не пуст, так как всегда [math]\varnothing \in e[/math]. [math]X = \bigcup \limits_{n} X_n[/math], [math]\mu X_n \lt +\infty[/math] [math]E_m = E(f(x) \le m)[/math], [math]E \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m[/math], но [math]E = E \bigcap X = \bigcup(E_m \bigcap X_n)[/math] [math]E_m \bigcap X_n \in X_n[/math] [math]\mu(E_m \bigcap X_n) \lt \mu X_n \lt +\infty[/math] (на множестве [math]E_m \bigcap X_n[/math] [math]f[/math] — ограничена), следовательно, [math]\forall E_m \bigcap X_n \in e[/math].
Все [math]e[/math] будем условно называеть "хорошим множеством".

Теорема:

Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части. [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math] ([math]E = \bigcup \limits_{n} E_n[/math]). Тогда [math]\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Заметим, что мы не предполагаем суммируемость [math]f[/math]. [math]\forall E_n \in E[/math] если [math]e[/math] хорошее, относительно [math]E_n[/math], то [math]e[/math] — хорошее, относительно [math]E[/math]. По свойствам граней [math]\int \limits_{E_n} f \le \int \limits_{E} f[/math]. Если хотя бы на одном из [math]E_n[/math] [math]f[/math] не суммируема, то [math]\int \limits_{E} f = +\infty[/math] и тогда неравенство тривиально. Cледовательно [math]\forall \int \limits_{E_n} f_n \lt +\infty[/math], то есть [math]f[/math] — суммируемма на [math]\forall E_n[/math]. Если [math]e[/math] хорошее, относительно [math]E = \bigcup \limits_{n}[/math], то [math]e_n = E_n \bigcap e[/math] - дизъюнктны. [math]e = \bigcup \limits_{n} e_n[/math]. Так как [math]f[/math] ограничена на [math]e[/math], то [math]f[/math] — ограничена на [math]e_n[/math]. Мера [math]e[/math] конечна, отсюда по [math]\sigma[/math]-аддитивности интеграла Лебега [math]\int \limits_{e} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{e_n} f[/math] [math]\int \limits_{e_n}f \le \int \limits_{E_n} f[/math] [math]\int \limits_{e} f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n}f[/math]. Переход к точной верхней грани. [math]\int \limits_{E}f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math]. В обратную сторону. [math]f[/math] — суммируема на [math]\forall E_n[/math], [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] [math]\int \limits_{E_n} \frac{\varepsilon}{2^n}f \lt \int \limits_{e_n} f[/math] [math]\sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{E_n} f \sum \limits_{n = 1}^{N} \frac{\varepsilon}{2^n} \lt \sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{e_n} f = \int \limits_{\bigcup \limits_{n=1}^{N} e_n \in E} f \le \int \limits_{E} f[/math]. Устремим [math]N \to \infty[/math], что можно сделать, так как это числа [math]\sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f + \varepsilon \le \int \limits_{E} f[/math]. Устремив [math]\varepsilon \to 0[/math], приходим к пртивоположному неравенству, таким образом равенство доказано.

[math]\triangleleft[/math]

[math]\sigma[/math]-аддитивность позволяет переносить на [math]f \ge 0[/math] стандартные свойства интеграла Лебега, например линейность. Действительно [math] \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g[/math] для [math]f, g \ge 0[/math]. Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем [math]E[/math] на измеримые, дизъюнктные множества. [math]E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f \lt n)[/math]. Аналогично [math]E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g \lt n)[/math] После этого [math]E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \bigcap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p[/math]. За счет [math]\sigma[/math]-конечности меры можно считать, что [math]\mu B_p \lt +\infty[/math] для [math]\forall p[/math]. За счет [math]\sigma[/math]-аддитивности интеграла от неотрицательной функции: [math]\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g[/math]. Получили линейность.