Мера подграфика
Геометрический смысл интеграла Лебега.
— измерима.
— подграфик функции.
Теорема (о мере подграфика): | |||||
TODO: не очень понимаю, что доказывается — измеримо,
| |||||
Доказательство: | |||||
Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами. Если на , то подграфик называется цилиндром в .
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры. f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует. \exists \int\limits_E f d \lambda_n \tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш) m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x) \underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau \underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau) Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик. Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau) \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau. По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран. Далее разбор случаев: 1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима. \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана. 2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки: f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases} f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x) f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x) По теореме Леви: \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n G_m — подграфик срезки f_m срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае. | |||||