Функциональный анализ
Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
Если вы читаете это, самоуничтожьтесь.
Да, да, функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.
В прошлых сериях
- Метрическое пространство есть множество точек с метрикой :
- .
- .
- .
- Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
- Банаховым пространством называется нормированное линейное пространство полное по метрике, порождённой нормой.
- Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке функции (обычно обозначается ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
- Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала на Гильбертовом пространстве существует единственный вектор такой, что для любого . При этом норма линейного функционала совпадает с нормой вектора : . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над изоморофно пространству .
- Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал , определённый на подпространстве линейного пространства и удовлетворяющий условию , где — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве ) то может быть продолжен на все пространство с сохранением этого условия.
- Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
- Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
- Ядром линейного отображения называются подмножество , которое отображается в нуль: . Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .
- Пусть — оператор, действующий в банаховом пространстве . Число λ называется регулярным для оператора , если оператор , называемый резольвентой оператора , определён на всём и непрерывен. Множество регулярных значений оператора называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.
Билеты
1. Сопряженный оператор и его ограниченность
Будем работать с , как с банаховым пространством.
Def: Пространство всех линейных функционалов на образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .
Def: Пусть — непрерывный линейный оператор действующий из банахова пространства в банахово пространство . И пусть — сопряжённые пространства. Обозначим . Если — фиксировано, то — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что . называется сопряжённым оператором.
Th: Пусть задан линейный оператор . Тогда норма оператора совпадает с нормой .
(оператор проектирования ??)
2. Ортогональные дополнения Е и Е*
Def: Пусть некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение .
Th: Имеют место соотношения: ; .
(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)
3. Ортогональное дополнение R(A)
(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)
Th: Пусть задан линейный оператор , где и банаховы. Пусть также множество значений замкнуто в . Тогда .
4. Ортогональное дополнение R(A*)
Th: Пусть множество значений оператора замкнуто: . Тогда верно .
5. Арифметика компактных операторов
Def: Линейный оператор называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из в относительно компактное множество в .
Примером является оператор Фредгольма: .
Установим несколько свойств:
Th: Пусть операторы такие, что компактен, а ограничен. Тогда операторы и компактны.
6. О компактности А*, сепарабельность R(A)
7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве
Def: Система векторов топологического векторного пространства называется базисом Шаудера, если каждый элемент разлагается в единственный, сходящийся к ряд по : , где — числа, называемые коэффициентами разложения вектора по базису .
8. Почти конечномерность компактного оператора
Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.
9. О размерности Ker(I-A) компактного А
Утв. Пусть - компактный оператор, . Тогда,
Следствие Множество решений операторного уравнения конечномерно.
10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения
Утв. Пусть и . Тогда, - замкнуто.
11. О замкнутости R(I-A) компактного А
Утв. Пусть оператор - компактный. Тогда, - замкнуто.
12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А
Утв. Пусть оператор - компактный, и . Тогда,
13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е
Утв. Пусть - компактный оператор. Тогда,
14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера
Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)
Пусть - компактный оператор, -пространство.
Тогда, возможны только 2 случая:
- (уравнение разрешимо относительно
15. О спектре компактного оператора
Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта
16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора
Утв. Пусть - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,
17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора
18. О числах m- и m+
19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора
20. Теорема Гильберта-Шмидта
21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты
Элементы нелинейного функционального анализа.
