Коды Грея для перестановок
<wikitex>
Определения
| Определение: |
| Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией. Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов. |
Примеры кодов Грея для перестановок
| $n = 2$ | $\{1, 2\}$ | $\{2, 1\}$ | ||||
| $n = 3$ | $\{1, 2, 3\}$ | $\{1, 3, 2\}$ | $\{3, 1, 2\}$ | $\{3, 2, 1\}$ | $\{2, 3, 1\}$ | $\{2, 1, 3\}$ |
Построение кода Грея для перестановок
Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
- $\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}$
- $\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}$
- $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}$
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
$\{a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
Элемент $k$ записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
- $\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k-1}, k}\}$
- $\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}$
- $\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
- $\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $k$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $k$ стоит на разных позициях,а если $k$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $k$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной элементарной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.
Пример применения алгоритма
Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:
- $\{2, 1\}$
- $\{1, 2\}$
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):
- $\{\underline{3, 2}, 1\}$ — берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
- $\{2, \underline{3, 1}\}$ — двигаем до последней позиции
- $\{\underline{2, 1}, 3\}$
- $\{1, \underline{2, 3}\}$ — берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
- $\{\underline{1, 3}, 2\}$ — двигаем в начало
- $\{3, 1, 2\}$
Код Грея получен.
Псевдокод получения Грея
Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае ($n = 1$) возвращаем список из одной перестановки $\{n\}$.
gray_code(n):
if n == 1:
return = [{1}]
else:
result = []
perms = gray_code(n - 1)
backward = false
for perm in perms:
if backward:
current = concat(perm, {n})
result.append(current)
for (i = n; i > 1; i--):
swap(current[i - 1], current[i])
result.append(current)
else:
current = concat({n}, perm)
result.append(current)
for (i = 1; i < n; i++):
swap(current[i], current[i + 1])
result.append(current)
backward = !backward
return result
Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
См. также
Литература
Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41
