Секвенциальное и интуиционистское исчисление

<< >>

Секвенциальное исчисление высказываний

Исчисления гильбертовского типа, используемые здесь, не единственные. Как пример, рассмотрим секвенциальное исчисление. В данном разделе мы будем использовать символ [math]\supset[/math] вместо символа [math]\rightarrow[/math].

Определение:

Пусть [math]\Gamma[/math] и [math]\Delta[/math] --- некоторые формулы исчисления высказываний. Тогда секвенция --- это запись вида [math]\Gamma \rightarrow \Delta[/math]. Часть секвенции [math]\Gamma[/math] называется антецедентом, а [math]\Delta[/math] --- сукцедентом.

Неформальный смысл секвенции: секвенция [math]\gamma_1,...\gamma_n \rightarrow \delta_1,...\delta_n[/math] означает, что из конъюнкции всех аргументов слева следует дизъюнкция всех аргументов справа. Пустой список слева соответствует истине, пустой список справа — лжи. Соответственно, доказуемость секвенции [math]\rightarrow[/math] означает противоречие.

Формальная система, основанная на секвенциальном исчислении, имеет одну схему аксиом: [math](\psi) \rightarrow (\psi)[/math], и множество правил вывода.

• Правила вывода и аксиомы смотри в книге Г. Такеути Теория доказательств, М, <<Мир>>, 1978, стр. 15-17.

Теорема:

Теорема об устранении сечений. Любое доказательство, использующее правило сечения, может быть перестроено в доказательство, не использующее правило сечения.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Без доказательства.

[math]\triangleleft[/math]

Интуиционистское исчисление высказываний может быть получено из классического путем введения ограничения на количество формул в суккцеденте: их должно быть не более одной.

Интуиционистская логика

Интуиционистское исчисление высказываний получается из классического заменой схемы аксиом 10 в исчислении высказываний (схемы аксиом снятия двойного отрицания) на следующую: [math](\neg (\psi)) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi)[/math]

Конструкцию примера для доказательства необщезначимости закона исключенного третьего и конструкцию моделей Крипке см. Н.К.Шень, А.Верещагин, Лекции по математической логике и теории алгоритмов, часть 2. Языки и Исчисления.

Глава 2, Интуиционистская пропозициональная логика, стр. 74-77.