Аксиомы системы исчисления высказываний
[math]
(1) (\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))\\
(2) ((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\pi))\\
(3) (\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi) \& (\psi)\\
(4) (\phi) \& (\psi) \rightarrow (\phi)\\
(5) (\phi) \& (\psi) \rightarrow (\psi)\\
(6) (\phi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)\\
(7) (\psi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)\\
(8) ((\phi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \vee (\psi) \rightarrow (\pi))\\
(9) ((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow \neg (\psi)) \rightarrow \neg (\phi)\\
(10) \neg \neg (\phi) \rightarrow (\phi)\\
[/math]
Аксиомы предикатов
[math]
(11) \forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha])\\
(12) (\psi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psi) \\
[/math]
Аксиоматика Пеано
[math]
(A1) a = b \rightarrow a' = b' \\
(A2) a = b \rightarrow a = c \rightarrow b = c \\
(A3) a' = b' \rightarrow a = b \\
(A4) \neg a' = 0 \\
(A5) a + b' = (a+b)' \\
(A6) a + 0 = a \\
(A7) a \cdot 0 = a \\
(A8) a \cdot b' = a \cdot b + a \\
(A9) (\psi [x := 0]) \& \forall{x}((\psi) \rightarrow (\psi) [x := x']) \rightarrow (\psi)\\
[/math]
Аксиоматика теории групп
[math]
(E1) a = b \rightarrow (a = c \rightarrow b = c)\\
(E2) a = b \rightarrow (a \cdot c = b \cdot c)\\
(E3) a = b \rightarrow (c \cdot a = c \cdot b)\\
(G1) a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\\
(G2) a \cdot 1 = a\\
(G3)a \cdot a ^ {-1} = 1\\
[/math]
Аксиоматика теории множеств
Аксиома равенства:
[math]\forall x \forall y \forall z ((x = y \& x \in z) \rightarrow y \in z)[/math]
Аксиома пары:
[math]\forall x \forall y (\neg x=y \rightarrow \exists p (x \in p \& y \in p \& \forall z (z \in p \rightarrow (z = x \vee z = y)))[/math]
Аксиома объединения
[math]\forall x (\exists y y \in x \rightarrow \exists p \forall y (y \in p \leftrightarrow \exists s (y \in s \& s \in x)))[/math]
Аксиома степени
[math]\forall x \exists p \forall y (y \subseteq p \leftrightarrow y \in x)[/math]
Аксиома выделения
[math]\forall x \exists b \forall y (y \in b \leftrightarrow (y \in x \& \phi(y)))[/math]
Аксиома выбора
[math]\forall a \forall b (b \in a \& \neg(a = \emptyset) \& \neg(b = \emptyset) \rightarrow \neg(\times a = \emptyset)
===Аксиома бесконечности===
\lt tex\gt \emptyset \in N \& \forall x(x \in N \rightarrow x\cup\{x\} \in N)[/math]
Аксиома фундирования
[math]\forall x (x = \emptyset \vee \exists y (y \in x \& y \cap x = \emptyset))[/math]
Аксиома подстановки
Если задана некоторая функция f, представимая в исчислении предикатов
(то есть, есть предикат A, что f(x) = y тогда и только тогда,
когда [math]A(x,y) \& \exists ! z A(x,z)[/math])
то для любого множества Y существует множество f(Y) — образ
множества Y при отображении f.
