Отношение рёберной двусвязности

Реберная двусвязность

Определение:

Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.

Теорема:

Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности. Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно) Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно) Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math] Доказательство: Пусть из [math] u [/math] в [math] v [/math] есть два реберно не пересекающихся пути. Назовем эти пути [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math]. Их объединение будет реберно-простым циклом. Обозначим его за [math] C [/math]. Вершина [math] w [/math] реберно двусвязна с [math] v [/math]. Пусть вершины [math] a [/math] и [math] b [/math] - первые пересечения [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] с [math] C [/math] соответственно. Рассматриваем два пути [math] wau [/math] и [math] wbu [/math] таких, что части [math] au [/math] и [math] bu [/math] идут в разные стороны по [math] C [/math] относительно часовой стрелки. Наличие двух таких реберно не пересекающихся путей очевидно, а значит [math] u [/math] и [math] w [/math] реберно двусвязный. На первой картинке [math]vu[/math] и [math]vbau[/math] два пути([math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math]).

[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:

Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.

См. также

Отношение вершинной двусвязности

См. также

Визуализатор - компоненты двусвязности

Литература

• Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6