Определение ряда Фурье

Эта статья находится в разработке!

L_p

Определение:

[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math]. То есть [math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math]

Определение:

Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, ... (n = 1, 2 ...)[/math] называют тригонометрической системой функций.

Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно все функции принадлежат [math]L_p[/math].

Заметим, что [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math]

TODO: проверить следующий абзац Также при [math] n \ne m [/math] :

[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math]

[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math]

Определение:

Тригонометрический ряд: [math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math]. Если начиная с какого-то места [math] c_n = d_n = 0 [/math] — тригонометрический полином.

Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то [math] f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \iff \int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]