Участник:Yulya3102/Матан

Основные вопросы

Список

• Замечание о представимости функции рядом Тейлора
• Дифференцирование разложений Тейлора
• Иррациональность числа e
• Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума
• Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
• Дифференциальный критерий выпуклости
• Неравенство Йенсена
• Неравенство Гельдера
• Неравенство Минковского
• Неравенство Коши
• Теорема о свойствах неопределенного интеграла
• Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
• Лемма о свойствах сумм Дарбу
• Критерий интегрируемости Римана
• Интегрируемость на меньшем параллелепипеде
• Аддитивность интеграла
• Предел римановых сумм
• Линейность интеграла
• Монотонность интеграла
• Интегрируемость модуля интегрируемой функции
• Интегрируемость произведения
• Интегрируемость частного
• Ослабленный критерий Лебега. Следствие
• Теорема о среднем. Следствия
• Теорема Барроу
• Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
• Замена переменных и интегрирование по частям в определенном инетграле
• Иррациональность числа пи
• Формула Валлиса
• Формула Тейлора с интегральным остатком
• Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
• Неравенства Гельдера и Минковского
• Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
• Теорема о формуле трапеций
• Формула Эйлера - Маклорена
• Формула Стирлинга
• Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
• Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:

Пусть: [math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math], функции f и g дифференцируемы на (a, b), [math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math], [math]\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0[/math] и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math]. Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность [math]\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A[/math]. Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что [math] {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}[/math]. По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей [math]{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A[/math], а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math]. 2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим [math]\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))[/math]. Тогда [math]\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})[/math], [math]\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0[/math], [math]\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A[/math]. По доказанному [math]\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:

Пусть: [math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math], функции f и g дифференцируемы на (a, b), [math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math], [math]\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty[/math] и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math]. Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0[/math]. Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math]. Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}[/math]. Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим [math]\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma[/math]. Поэтому [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma[/math]. Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0[/math], а значит, и [math]lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0[/math]. 2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда [math]\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0[/math]. По доказанному [math]{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0[/math], то есть [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math]. 3. Случай [math]A = +\infty[/math] рассматривается аналогично случаю [math]A = 0[/math]. При этом вместо [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math] используется неравенство [math]{f'(c) \over g'(c)} \gt M[/math] и доказывается, что [math]\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M[/math]. Случай [math]A = -\infty[/math] разбирается аналогично или сводится к случаю [math]A = +\infty[/math] переходом к функции [math]-f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание о представимости функции рядом Тейлора

Дифференцирование разложений Тейлора

Иррациональность числа е

Виноградов, том 1, 213

Критерий монотонности и строгой монотонности

Критерий монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f возрастает (убывает) на [math]\left \langle a, b\right \rangle[/math] в том и только в том случае, когда [math]f'(x) \ge 0 \ (f'(x) \le 0) \ \forall x \in (a, b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f возрастает. Возьмем [math]x \in (a, b)[/math]. Тогда [math]f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle[/math] , поэтому [math]f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0[/math]. 2. Достаточность. Пусть [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle[/math] . Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2[/math], и докажем, что [math]f(x_1) \le f(x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c \in (x_1, x_2)[/math]: [math]f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \ge 0[/math]. Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции [math]-f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: критерий постоянства функции

Теорема:

Пусть [math]f: \langle a, b\rangle \to \mathbb{R}[/math]. Тогда f постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если [math]f \in C\langle a, b\rangle[/math] и [math]f'(x) = 0 \ \forall x \in (a, b)[/math], то по критерию монотонности функции функция [math]f[/math] одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на [math]\langle a, b\rangle[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Критерий строгой монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на [math]\langle a, b\rangle[/math] и дифференцируема на [math](a, b)[/math]. Тогда f строго возрастает на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только в том случае, когда: 1) [math]f'(x) \ge 0 \ \forall x \in (a, b)[/math]; 2) [math]f'[/math] не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По критерию постоянства функции условие 2) означает, что [math]f[/math] не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания [math]f[/math] вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по критерию монотонности функции. Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание [math]f[/math]. Если возрастание нестрогое, то [math]\exists x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, f(x_1) = f(x_2)[/math]. Тогда [math]f[/math] постоянна на [math][x_1, x_2][/math], что противоречит условию 2).

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума

Лемма о трех хордах

Лемма:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math], [math]x_1, x_2, x_3 \in \langle a, b\rangle, x_1 \lt x_2 \lt x_3[/math]. Тогда [math]{f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_1) \over x_3 - x_1} \le {f(x_3) - f(x_2) \over x_3 - x_2}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению выпуклости [math]f(x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_3)[/math], где [math]t={x_3 - x_2 \over x_3 - x_1}, \ 1-t = {x_2 - x_1 \over x_3 - x_1}[/math]. Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны, [math]f(x_2) \le f(x_1)+(1-t)(f(x_3)-f(x_1))=f(x_1)+(x_2-x_1){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x_1}[/math], что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны, [math]f(x_2)\le f(x_3)-t(f(x_3)-f(x_1))=f(x_3)-(x_3-x_2){f(x_3)-f(x_1)\over x_3-x)1}[/math], что равносильно правому неравенству в лемме.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

Теорема:

Пусть функция [math]f[/math] выпукла вниз на [math]\langle a, b \rangle[/math]. Тогда для любой точки [math]x \in (a, b) \ \exists[/math] конечные [math]f'_-(x), f'_+(x): f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in (a, b)[/math] и положим [math]g(\xi) = {f(\xi) - f(x) \over \xi - x}, \ \xi \in \langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. По лемме о трех хордах g возрастает на [math]\langle a, b \rangle \backslash \{x\}[/math]. Поэтому, если [math]a \lt \xi \lt x \lt \eta \lt b[/math], то [math]g(\xi) \le g(\eta)[/math], то есть [math]{f(\xi) - f(x) \over \xi - x} \le {f(\eta) - f(x) \over (\eta - x}[/math]. Следовательно, g ограничена на [math]\langle a, x)[/math] сверху, а на [math](x, b\rangle[/math] - снизу. По теореме о пределе монотонной функции существуют конечные пределы [math]g(x-)[/math] и [math]g(x+)[/math], которые по определению являются односторонними производными [math]f'_-(x)[/math] и [math]f'_+(x)[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x[/math] слева, а [math]\eta[/math] - справа, получаем, что [math]f'_-(x) \le f'_+(x)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции

Описание выпуклости с помощью касательных

Теорема:

Пусть функция f дифференцируема на [math]\langle a, b\rangle[/math]. Тогда f выпукла вниз на [math]\langle a, b\rangle[/math] в том и только том случае, когда график f лежит не ниже любой своей касательной, то есть [math]\forall x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] [math]f(x) \ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Необходимость. Пусть f выпукла вниз, [math]x, x_0 \in \langle a, b\rangle[/math]. Если [math]x \gt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \eta \in (x_0, x)[/math] [math]{f(\eta) - f(x_0) \over \eta - x_0} \le {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math]. Устремляя [math]\eta[/math] к [math]x_0[/math] справа, получаем неравенство [math]f'(x_0) \le {f(x) - f(x_0) \over x-x_0}[/math], равносильное неравенству в теореме. Если [math]x \lt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \xi \in (x,x_0)[/math] [math]{f(\xi)-f(x_0)\over\xi-x_0}\ge{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math]. Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x_0[/math] слева, получаем неравенство [math]f'(x_0) \ge {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}[/math], равносильное неравенству в теореме. 2. Достаточность. Пусть [math]\forall x,x_0 \in \langle a, b\rangle[/math] верно неравенство в теореме. Возьмем [math]x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 \lt x_2, \ x \in (x_1, x_2)[/math]. Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам [math]x_1[/math] и [math]x[/math], а затем - к [math]x_2[/math] и [math]x[/math], получаем [math]f(x_1) \ge f(x) + f'(x)(x_1 - x)[/math], [math]f(x_2) \ge f(x) + f'(x)(x_2 - x)[/math], что равносильно [math]{f(x) - f(x_1)\over x-x_1}\le f'(x)\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}[/math]. Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из определения выпуклости.

[math]\triangleleft[/math]

Дифференциальный критерий выпуклости

Виноградов, том 1, 234

Неравенство Йенсена

Неравенство Гельдера

Неравенство Минковского

Неравенство Коши

Теорема о свойствах неопределенного интеграла

Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие

Лемма о свойствах сумм Дарбу

Критерий интегрируемости Римана

Интегрируемость на меньшем параллелепипеде

Аддитивность интеграла

Предел римановых сумм

Линейность интеграла

Монотонность интеграла

Интегрируемость модуля интегрируемой функции

Интегрируемость произведения

Интегрируемость частного

Ослабленный критерий Лебега. Следствие

Теорема о среднем. Следствия

Теорема Барроу

Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций

Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

Интегральность числа пи

Формула Валлиса

Формула Тейлора с интегральным остатком

Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей

Неравенство Гельдера и Минковского

Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши

Теорема о формуле трапеций

Формула Эйлера - Маклорена

Формула Стирлинга

Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям

Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Определения и факты

Список

• Ряды Тейлора основных элементарных функций
• Локальный экстремум
• Точка возрастания функции
• Стационарная точка
• Выпуклое множество в R^m
• Надграфик и подграфик
• Дробление параллелепипеда
• Что значит, что одно дробление мельче другого
• Сумма Дарбу
• Верхний интеграл Дарбу
• Интегрируемая по Риману функция
• Интеграл функции по параллелепипеду
• Риманова сумма
• Колебание функции на множестве
• Множество объема 0
• Множество меры 0
• Интеграл с переменным верхним пределом
• Кусочно-непрерывная функция
• Почти первообразная
• Несобственный интеграл

Ряды Тейлора основных элементарных функций

Локальный экстремум

Точка возрастания функции

Стационарная точка

Выпуклая функция

Определение:

Функция [math]f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}[/math] называется: выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]; строго выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2) \lt tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]. Если выполняются противоположные неравенства, то функция [math]f[/math] называется соответственно выпуклой вверх или строго выпуклой вверх на [math]\langle a,b\rangle[/math]. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто выпуклыми, а те, что были названы выпуклыми вверх, - вогнутыми.

Выпуклое множество в R^m

Надграфик и подграфик

Опорная прямая

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle[/math]. Прямая, задаваемая уравнением [math]y = \ell(x)[/math], называется опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math], если [math]\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)[/math]. Если же [math]\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\{x_0\} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\gt \ell(x)[/math], то прямая называется строго опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math].

Первообразная

Определение:

Пусть [math]f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}[/math]. Функция [math]F[/math] называется первообразной функции [math]f[/math] на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x\in\langle a,b\rangle\ F'(x)=f(x)[/math].

Таблица первообразных

1. [math]\int0dx=C[/math]

2. [math]\int x^\alpha dx={x^{\alpha+1}\over\alpha+1}+C,\ \alpha\ne-1[/math]

3. [math]\int {dx\over x}=ln\vert x\vert+C[/math]

4. [math]\int a^x dx={a^x\over \ln a}+C[/math]

5. [math]\int \sin x dx=-\cos x+C[/math]

6. [math]\int \cos x dx=\sin x+C[/math]

7. [math]\int {dx\over \cos ^2 x}=\tan x+C[/math]

8. [math]\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+C[/math]

9. [math]\int{dx\over\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C[/math]

10. [math]\int{dx\over 1+x^2}=\arctan x+C[/math]

11. [math]\int{dx\over\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2\pm1}\vert+C[/math]

12. [math]\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{1+x\over1-x}\right\vert+C[/math]

Дробление отрезка

Определение:

Пусть [math][a,b][/math] - невырожденный отрезок. Набор точек [math]\tau = \{x_k\}^n_{k=0}:\ a=x_0\lt x_1\lt ...\lt x_n=b[/math] называется дроблением отрезка [math][a,b][/math]. Отрезки [math][x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])[/math] называют отрезками дробления, через [math]\Delta x_k[/math] обозначается длина [math]k[/math]-го отрезка дробления. Величина [math]\lambda = \lambda_\tau=\underset{0\le k\le n-1}{max}\Delta x_k[/math] называется рангом или мелкостью дробления [math]\tau[/math]. Набор точек [math]\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}[/math], таких что [math]\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1][/math], называется оснащением дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара [math](\tau, \xi)[/math], называется оснащенным дроблением.

Дробление параллелепипеда

Что значит, что одно дробление мельче другого

Сумма Дарбу

Определение:

Пусть [math]f: [a,b]\to\mathbb{R},\ \tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] - дробление [math][a,b][/math], [math]M_k=\underset{x\in[x)k,x_{k+1}]}{\sup}f(x),\ m_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\inf}f(x),\ k\in[0:n-1][/math]. Суммы [math]S=S_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math] и [math]s=s_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k\Delta x_k[/math] называются верхней и нижней интегральными суммами или суммами Дарбу функции [math]f[/math], отвечающими дроблению [math]\tau[/math].

Верхний интеграл Дарбу

Интегрируемая по Риману функция

Интеграл функции по параллелепипеду

Риманова сумма

Колебание функции на множестве

Множество объема 0

Множество меры 0

Интеграл с переменным верхним пределом

Кусочно-непрерывная функция

Почти первообразная

Несобственный интеграл