Факты из математического анализа

Эта статья находится в разработке!

Оценка ряда [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math] с помощью [math] \int \limits_{1}^{n} f(x) dx [/math] для монотонных функций.

Утверждение:

Пусть есть ряд состоящий из значений функций: [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math], притом [math] f_n [/math] либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда ряд из [math] f_n [/math] монотонно возрастает. Оценим ряд сверху: [math] {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} [/math] Аналогично оценим ряд снизу.

[math]\triangleleft[/math]