Дерево поиска, наивная реализация
Бинарное дерево поиска обладает следующим свойством: если - узел бинарного дерева с ключом , то все узлы в левом поддереве должны иметь ключи, меньшие , а в правом поддереве большие .
Операции в бинарном дереве поиска
Обход дерева поиска
Есть три операции обхода узлов дерева, отличающиеся порядком обхода узлов:
- inorderTraversal - обход узлов в отсортированном порядке
- prefixTraversal - обход узлов в порядке: вершина, левое поддерево, правое поддерево
- postfixTraversal - обход узлов в порядке: левое поддерево, правое поддерево, вершина
inorderTraversal(Node x)
if x != null
inorderTraversal(x.left)
print(x.key)
inorderTraversal(x.right)
Корректность данного алгоритма следует из свойств бинарного дерева поиска.
prefixTraversal(Node x)
if x != null
print(x.key)
prefixTraversal(x.left)
prefixTraversal(x.right)
postfixTraversal(Node x)
if x != null
postfixTraversal(x.left)
postfixTraversal(x.right)
print(x.key)
Данные алгоритмы выполняют обход за время , поскольку процедура вызывается ровно два раза для каждого узла дерева.
Поиск элемента
Для поиска элемента в бинарном дереве поиска можно воспользоваться следующей процедурой, которая принимает в качестве параметров корень дерева и искомый ключ. Для каждого узла функция сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае функция вызывается рекурсивно для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы , где - высота дерева.
Node search(Node x, key k)
if x == null or k == x.key
return x
if k < x.key
return search(x.left, k)
else
return search(x.right, k)
Поиск минимума и максимума
Чтобы найти минимальный элемент в бинарном дереве поиска, необходимо просто следовать указателям left от корня дерева, пока не встретится значение null. Если у вершины есть левое поддерево, то по свойству бинарного дерева поиска в нем хранятся все элементы с меньшим ключом. Если его нет, значит эта вершина и есть минимальная. Аналогично ищется и максимальный элемент. Для этого нужно следовать правым указателям.
Node minimum(Node x)
if x.left == null
return x
return minimum(x.left)
Node maximum(Node x)
if x.right == null
return x
return maximum(x.right)
Данные функции принимают корень поддерева, и возвращают минимальный (максимальный) элемент в поддереве. Обе процедуры выполняются за время .
Поиск следующего и предыдущего элемента
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.
Node next(Node x)
if x.right != null
return minimum(x.right)
y = x.parent
while y != null and x == y.right
x = y
y = y.parent
return y
Node prev(Node x)
if x.left != null
return maximum(x.left)
y = x.parent
while y != null and x == y.left
x = y
y = y.parent
return y
Обе операции выполняются за время .
Вставка
Операция вставки работает аналогично поиску элемента, только при обнаружении у элемента отсутствия ребенка нужно подвесить на него вставляемый элемент. Приведем итеративную реализацию этого алгоритма.
insert(Node x, Node z) // корень поддерева, вставляемый элемент
Node y = null
while x != null
y = x
if z.key > x.key
x = x.right
else
x = x.left
z.parent = y
if z.key > y.key
y.right = z
else
y.left = z
Время работы алгоритма .
Удаление
Для удаления узла из бинарного дерева поиска нужно рассмотреть три возможные ситуации. Если у узла нет дочерних узлов, то у его родителя нужно просто заменить указатель на null. Если у узла есть только один дочерний узел, то нужно создать новую связь между родителем удаляемого узла и его дочерним узлом. Наконец, если у узла два дочерних узла, то нужно найти следующий за ним элемент(у этого элемента не будет левого потомка) и переместить его на место удаляемого узла. Время работы алгоритма .
| Случай | Иллюстрация |
|---|---|
| Удаление листа | 
|
| Удаление узла с одним дочерним узлом | 
|
| Удаление узла с двумя дочерними узлами | 
|
delete(Node root, Node z) //корень поддерева, удаляемый элемент
Node x, y //x - элемент, который нужно поместить вместо y
if z.left != null and z.right != null //если z имеет двух детей
y = next(z) //y - элемент, следующий за удаляемым, x - null
x = null
if y == y.parent.left
y.parent.left = null
else
y.parent.right = null
z.key = y.key //подвешиваем y вместо z
z.data = y.data
else if z.left != null or z.right != null //eсли z имеет одного ребенка
y = z //y - удаляемый элемент
if y.left != null //x - ребенок y
x = y.left
else
x = y.right
else //если z не имеет детей
y = z //y - удаляемый элемент, x - null
x = null
if x != null //подвешиваем x вместо y
x.parent = y.parent
if y.parent == null
root = x
else
if y == y.parent.left
y.parent.left = x
else
y.parent.right = x
Ссылки
Литература
1. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4
