Вещественный двоичный поиск

Вещественный двоичный поиск - алгоритм поиска аргумента для заданного значения монотонной вещественной функции.

Формулировка задачи

Пусть нам задана монотонная функция. Необходимо найти значение аргумента [math]x[/math] этой функции, в которой она принимает определенное значение [math]C[/math].

Решение задачи

Применим идею двоичного поиска. Выберем такие границы, где значение функции точно больше и точно меньше заданного значения. Выберем значение в середине этого отрезка. Если оно меньше, чем заданное, то сместим левую границу в середину отрезка. В противном случае сместим правую границу. Далее повторим процесс сужения границ. Встает вопрос, когда остановиться. Есть несколько способов сделать это.

Способы закончить поиск

• Первый способ заключается в том, чтобы остановиться, когда рассматриваемый отрезок станет меньше заданного эпсилон. Но у этого подхода есть свои плюсы и минусы:

+ Алгоритм с большой точностью найдет значение аргумента

– Алгоритм может зациклиться. В компьютере мы работаем с конечным числом вещественных чисел. У чисел есть точность. Соответственно при больших значениях функции, длина отрезка может никогда не уменьшиться до заданного значения

• Второй способ менее точен. Предлагается заканчивать алгоритм, когда значение функции на концах отрезках различается менее, чем на заданное эпсилон.

+ В отличии от предыдущего, не зацикливается при больших значениях функции.

– Возможна большая погрешность, если функция будет очень медленно возрастать

• Абсолютно точный поиск. Вспомним о том, что вещественный числа в компьютере дискретным. Будем завершать поиск, когда границы отрезка - два соседних по представлению значения в типе данных. Утверждается, что два числа - соседние, если середина их отрезка совпадает или с левой, или с правой границей.

+ Алгоритм найдет число с максимально возможной точностью.

– Возможно плохое поведение, если искомый аргумент равен 0.

• Итеративный способ. В этом способе выполнится только конечное число число итераций.

+ Плюсом этого способа является фиксированная погрешность.

– Довольно плохая точность, если границы отрезка находятся на большом расстоянии.

Выбор границы отрезка для поиска

Для начала найдем правую границу. Выберем произвольную положительную точку (например [math]1[/math]). Будем удваивать ее до тех пор, пока значение функции в этой точке меньше заданного. Для того, чтобы найти левую границу выберем произвольную отрицательную точку (например [math]-1[/math]). Будем удваивать ее до тех пор, пока значение в ней будет больше заданного значения.

Псевдокод

findLeft(c) 
    x = -1;
    while f(x) > c 
        x = x * 2;
    return x; 

findRight(c)
    x = 1;
    while f(x) < c
        x = x * 2;
    return x;

binSearch(c)
    left = findLeft(с);
    right = findRight(с);
    while left < right - eps                           //Здесь можно использовать другое условие выхода
        mid = (left + right) / 2;
        if f(mid) < c
            left = mid;
        else
            right = mid;
    return l;

Пример использования

Классической задачей на вещественный двоичный поиск является задача поиска корня [math]n[/math]-ой степени из числа [math]x[/math]: [math]\sqrt[n]{x}[/math]. При [math]x \ge 1[/math] нижней границей для поиска будет [math]1[/math], а верхней - [math]x[/math].

Замечания

Необходимо отметить, то функция должна быть строго монотонна, иначе данный алгоритм не найдет искомый аргумент, либо найдет аргумент, но он не будет единственным. Важным отличием от целочисленного поиска является то, что мы передвигаем границу ровно в середину отрезка ([math]left = mid[/math]), а не со смещением внутрь отрезка ([math]left = mid + 1[/math]).

Источники

• Интернет университет, лекция сортировка и поиск