Теоретические вопросы по III-IV модулям
Дисциплина "Геометрия и алгебра" (весенний семестр)
Я за вами слежу. Вандалы будут выебаны в жопу.
Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.
Линейный оператор — отображение между линейными пространствами, сохраняющее линейную структуру.
Пусть [math]E_1, E_2[/math] — линейные пространства. [math]\mathcal{A}:E_1 \to E_2[/math] называется линейным оператором, если
[math]\mathcal{A}(\alpha x + \beta y) = \alpha \mathcal{A}x + \beta \mathcal{A}y[/math]. Иногда их называют гомоморфизмами.
Пространство линей ных операторов.
Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр.
Алгебра операторов и матриц.
Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
Обратная матрица: критерий обратимости, вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
Тензорная алгебра
Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.
Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.
Свертка тензора.
Транспонирование тензора.
Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве
Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.
Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида
Ультраинвариантные подпространства.
Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка.
Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
Жорданова форма матрицы линейного оператора.
Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
Евклидово пространство.
Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.
Задача о перпендикуляре.
Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.
Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.
Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.
Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.
Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.
Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.
Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.
Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.
Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.
Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.
Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.
Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
