Слово Фибоначчи

Определение

Определение:

Морфизмом называется отображение [math]h : \Sigma^* \rightarrow \Sigma^*[/math], которое каждой букве [math]\lambda[/math] из алфавита [math]\Sigma[/math] ставит в соответствие строку [math]h(\lambda)[/math] из множества [math]\Sigma^{+}[/math], затем данное отображение распространяется на [math]\Sigma^*[/math] следующим образом: [math]h(s) = \left\{ \begin{array}{ll} h(s[1])h(s[2])...h(s[n]), & s \in \Sigma^+ \\ \varepsilon, & s \in \Sigma^0 \\ \end{array} \right. [/math]

Любой морфизм [math]h[/math] можно применять к исходной строке [math]s[/math] любое число раз, тем самым генерируя последовательность итераций [math]h^{*}(s)[/math] по следующему правилу:

[math]h^{*}(s) = \{h^0(s), h^1(s),...\}[/math].

где [math]h^0(s) = s[/math] и для любого целого [math]k \geq 1 :[/math] [math] h^k(s) = h(h^{k-1}(s))[/math].

Например:

• [math]\Sigma = \{a,b\}, h(a) = a, h(b) = ab[/math].

• [math]h^*(a) = \{a,a,...\}[/math]

• [math]h^*(b) = \{b, ab, a^2b,..., a^kb...\}[/math]

Определение:

Строками Фибоначчи являются строки над алфавитом [math]\Sigma = \{a, b\}[/math], полученные последовательным применением морфизма [math]h[/math]: [math]h(a) = ab[/math] [math]h(b) = a[/math] к строке [math]s = b[/math], т.е. [math]h^*(b)[/math].

Первые несколько строк Фибоначчи:

• [math]f_0 = b[/math]
• [math]f_1 = a[/math]
• [math]f_2 = ab[/math]
• [math]f_3 = aba[/math]
• [math]f_4 = abaab[/math]
• [math]f_5 = abaababa[/math]

Лемма

Лемма:

Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}, n \geq 2[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство нетрудно получить методом математической индукции. База: При [math]n = 2[/math] равенство очевидно. Переход: Пусть [math]n \gt 2[/math] и [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}[/math]. [math]f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})[/math]. Так как отображение h — линейно (т.е. [math]h(xy) = h(x)h(y)[/math]), то можно продолжить равенство: [math]f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Также можно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.

Обощенная строка Фибоначчи

Начнем обобщение идеи строк Фибоначчи следующим образом. Вместо отдельных символов [math]a[/math] и [math]b[/math] будем оперировать двумя произвольными строками [math]x,y \in \Sigma^*[/math]:

• [math]h(x) = xy[/math]
• [math]h(y) = x[/math]

Таким образом "старый" морфизм будет частным случаем "нового" морфизма при [math]x = a[/math] и [math]y = b[/math].

По аналогии можно вычислить [math]h^*(y) = \{y, x, xy, xyx, \dots\}[/math], и ,наконец, определить n-ую обобщенную строку Фибоначчи как:

Определение:

Обобщенная строка Фибоначчи имеет вид [math]f_n(x,y) = h^n(y)[/math]

Первые несколько обобщенных строк имеют вид:

• [math]f_0(x,y) = y[/math]
• [math]f_1(x,y) = x[/math]
• [math]f_2(x,y)= xy[/math]
• [math]f_3(x,y)= xyx[/math]
• [math]f_4(x,y) = xyxxy[/math]

А также в общем случае:

• [math]f_n(x,y) = f_{n-1}(x,y)f_{n-2}(x,y)[/math]

Определение:

Определим бесконечную обобщенную строку Фибоначчи [math]f_{\infty}(x,y)[/math] как строку, содержащую все строки [math]f_n(x,y), n \geq 0[/math] в качестве префиксов

Поскольку [math]h^n(y) = h^{n-k}(h^k(y))[/math], то [math]f_n(x,y) = h^k(f_{n-k}(x,y)) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y))[/math], и, так как [math]h^k(x) = h^{k+1}(y)[/math], финально получаем:

• [math]f_n = f_{n-k}(f_{k+1},f_k)[/math].

Например: [math]f_7 = f_5(f_3, f_2) = (xyx)(xy)(xyx)(xyx)(xy)(xyx)(xy)(xyx)[/math]

Это равенство походит также и для [math]f_{\infty}: f_{\infty} = f_{\infty}(f_{n+1},f_{n}) = f_{n+1}f_n f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+1} f_n f_{n+1} \dots[/math]

Утверждение:

Бесконечная строка Фибоначчи [math]f_{\infty}[/math] является решением задачи построения (2,4)-исключения

Напомним, что в задаче построения [math](\alpha , r)[/math]-исключений требуется построить бесконечную строковую последовательность на алфавите размером [math]\alpha[/math], свободную от кратных подстрок порядка [math]r[/math], но содержащую кратные подстроки порядов [math]2,3,\dots, r - 1[/math].

См. также

Слово Туэ-Морса

Источники

• Билл Смит. Методы и алгоритмы вычислений на строках. Пер. с англ. — М.:ООО"И.Д.Вильямс", 2006. — 496 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 5-8459-1081-1 (рус.)