Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization

Задача многокритериальной оптимизации

Постановка задачи

Определение:

Задача многокритериальной оптимизации: [math]maximize \{f(x) = (f_1(x),\dots,f_K(x))\}[/math] [math] x \in X[/math] где [math] f(x) : X \rightarrow R^K[/math] - целевая вектор-функция, где [math]K \ge 2[/math]

Так как не существует единого решение, которое было бы максимальным для всех целевых функций, вместо него можно искать множество [math]X^* \subseteq X [/math] множество Парето оптимальных значений.

Множество Парето оптимальных значений

Определение:

Множество Парето оптимальных значений: [math]\forall x^* \in X^* \not\exists x \in X [/math]:[math]x \succ x^*[/math], где [math]x \succ x^* \Leftrightarrow (\forall i \in 1..K, (f_i(x) \ge f_i(x^*))\land (\exists i \in 1..K, f_i(x) \gt f_i(x^*)))[/math]

Выражение [math]x \succ x^*[/math] означает, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math].

Доминируемые решения

Определение:

Для двух решений [math]x[/math] и [math]x'[/math] говорят [math]x \sim x'[/math] тогда и только тогда, когда [math]\exists i \in 1..K \colon f_i(x) \gt f_i(x') \land \exists j \in 1..K, j \ne i \colon f_j(x') \gt f_j(x)[/math] - такую пару решений называют недоминируемой

Множество Парето оптимальных недоминируемых решений называется Парето фронтом.

Парето фронт

Получение оптимальных по Парето решений

Для выполнения оптимизации по нескольким критериям мы должны либо заменить единственную целевую

Источники

• Википедия: Многокритериальная оптимизация
• Knowles J., Watson R., Corne D. Reducing Local Optima in Single-Objective Problems by Multi-objectivization
• Friedrich T., Neumann F. Foundations of Evolutionary Multi-Objective Optimization