Уравнение Пелля

Определение:

Уравнение вида [math]x^2-dy^2=1[/math], где [math]d\in\mathbb{N}[/math] не является квадратом, называется уравнением Пелля. Как правило, стоит задача поиска всех целых корней этого уравнения при данном [math]d[/math].

У этого уравнения есть тривиальное решение [math]x=1, y=0[/math].

Теорема:

Любое решение уравнения Пелля — подходящая дробь для [math]\sqrt{d}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассматриваем [math]x,y\gt 0[/math], остальные корни получатся из симметрии. Так как [math]\sqrt{d}\geqslant 1[/math], то [math]x\gt y\gt 0[/math]. [math]x+\sqrt{d}y\gt 2y[/math]. Следовательно [math]1=x^2-dy^2=(x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)\gt (x-\sqrt{d}y)2y[/math]. Разделим обе части на [math]2y^2[/math] получим : [math]\frac{x}{y}-\sqrt{d} \lt \frac{1}{2y^2}[/math]. Значит по теореме о приближении [math]\frac{x}{y}[/math] является подходящей дробью для [math]\sqrt{d}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Существование решения уравнения Пелля

Теорема:

Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение. Доказательство через цепные дроби.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разложим [math]\sqrt{d}[/math] в цепную дробь. [math] \sqrt{d}=a_0+\frac{1}{a_1+\cdots+\frac{1}{a_0+\sqrt{d}}}[/math]. Значит [math]\sqrt{d}=\frac{P_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+P_{n-2}}{Q_{n-1}(a_0+\sqrt{d})+Q_{n-2}}[/math], отсюда [math]P_{n-1}a_0+P_{n-1}\sqrt{d}+P_{n-2}=Q_{n-1}d+(Q_{n-1}a_0+Q_{n-2})\sqrt{d}[/math]. Отсюда получаем систему [math]\begin{cases} P_{n-2}=Q_{n-1}d-P_{n-1}a_0 \\ Q_{n-2}=P_{n-1}-Q_{n-1}a_0 \\ \end{cases}[/math] Умножаем первое на [math]Q_{n-1}[/math] и вычитаем второе, умноженное на [math]P_{n-1}[/math]. Получаем [math](-1)^{n+1}=P_{n-2}Q_{n-1}-Q_{n-2}P_{n-1}=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}Q_{n-1}a_0-P_{n-1}^2+Q_{n-1}P_{n-1}a_0=Q_{n-1}^2d-P_{n-1}^2[/math]. Если [math]n[/math] нечётное, то мы нашли решение. Пусть [math]n[/math] чётное. Тогда [math]x^2-dy^2=-1\Rightarrow (x-\sqrt{d}y)(x+\sqrt{d}y)=-1[/math]. [math](x-\sqrt{d}y)^2=x^2+dy^2-2xy\sqrt{d}[/math] в тоже время [math](x-\sqrt{d})^2=\frac{1}{(x+\sqrt{d}y)^2}=\frac{1}{(x^2+dy^2)+2xy\sqrt{d}}[/math]. В итоге получаем [math]1=(x^2+dy^2-2xy\sqrt{d})(x^2+dy^2+2xy\sqrt{d})=(x^2+dy^2)^2-(2xy)^2d[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Другое доказательство существования решения

Лемма:

Для любого вещественного числа [math] \epsilon[/math] и натурального [math]N[/math] существует такое целое число [math] a [/math] и натуральное число [math] b [/math], что [math]b\leqslant N[/math] и [math] ~|b\epsilon - a|\leqslant \frac{1}{N+1}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим числа 0 и 1, а также дробные части чисел [math]\epsilon, 2\epsilon, \cdots, N\epsilon[/math]. Если все расстояния между этими [math]N+2[/math] числами было больше [math]\frac{1}{N+1}[/math], то приходим к противоречию. Значит какое-то из расстояний не превосходит [math]\frac{1}{N+1}[/math]. Если [math]~|{b2\epsilon} - {b1\epsilon}|\leqslant \frac{1}{N+1}[/math], где [math]1\leqslant b1 \lt b2 \leqslant N[/math], то [math]~|(b2\epsilon-[b2\epsilon]) - (b1\epsilon-[b1\epsilon])| \leqslant \frac{1}{N+1}[/math]. Так что берём [math]b = b2-b1[/math] и [math]a = [b2\epsilon]-[b1\epsilon] [/math]. Два других случая очевидны.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Уравнение Пелля имеет нетривиальное решение.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Положим [math]\epsilon=\sqrt{d}[/math]. Для любого натурального [math]n\gt 1[/math] в силу леммы существуют такие натуральные числа [math]a_n[/math] и [math]b_n[/math], что [math]b_n \lt n[/math] и [math]~|a_n-b_n\sqrt{d}|\lt \frac{1}{n}[/math]. Далее : [math]~|a_n^2-db_n^2|=~|a_n-b_n\sqrt{d}|\cdot~|a_n+b_n\sqrt{d}|\leqslant\frac{1}{n}~|a_n-b_n\sqrt{d}+2b_n\sqrt{d}|\leqslant 1+2\sqrt{d}[/math]. Поэтому [math]a_n^2-db_n^2[/math] принимает конечное число значений. Но [math]n[/math] принимает бесконечное число значений. Поэтому существует такое число [math]c[/math], что для него есть бесконечно много пар [math](a_n, b_n)[/math], таких что [math]a_n^2-db_n^2=c[/math]. Рассмотрим остатки от деления на [math]~|c|[/math] чисел [math] a_n, b_n[/math]. Количество остатков конечно, а пар бесконечно, поэтому существуют две различные пары [math] (a_1, b_1),(a_2,b_2)[/math] такие, что [math]a_1^2-db_1^2=c=a_2^2-вb_2^2[/math] и [math] a_1\equiv a_2(mod~|c|)[/math], [math]b_1\equiv b_2(mod~|c|)[/math]. [math]\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1-b_1\sqrt{d})(a_2+b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)+(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}[/math]. [math]\frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}=\frac{(a_1+b_1\sqrt{d})(a_2-b_2\sqrt{d})}{a_1^2-db_1^2}=\frac{(a_1a_2-db_1b_2)-(a_1b_2-a_2b_1)\sqrt{d}}{c}[/math]. Поскольку [math]a_1a_2-db_1b_2\equiv a_1^2-b_1^2d\equiv c\equiv 0(mod~|c|)[/math] и [math]a_1b_2-a_2b_1\equiv a_1b_1-a_1b_1 \equiv 0(mod~|c|)[/math], то числа [math] x = \frac{a_1a_2-b_1b_2d}{c}[/math] и [math]y = \frac{a_1b_2-a_2b_1}{c}[/math] целые. [math]x^2-dy^2=(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) = \frac{a_2-b_2\sqrt{d}}{a_1-b_1\sqrt{d}}\frac{a_2+b_2\sqrt{d}}{a_1+b_1\sqrt{d}} = \frac{a_2^2-db_2^2}{a_1^2-db_1^2}=\frac{c}{c}=1[/math]. Поэтому [math](x, y) [/math] - искомое нетривиальное решение уравнения Пелля.

[math]\triangleleft[/math]