Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization

Задача многокритериальной оптимизации

Постановка задачи

Определение:

Задача многокритериальной оптимизации:

где – целевая вектор-функция, где

Так как не существует единого решение, которое было бы максимальным для всех целевых функций, вместо него можно искать множество [math]X^* \subseteq X [/math] множество Парето оптимальных значений.

Множество Парето оптимальных значений

Определение:

Множество Парето оптимальных значений:

:, где

Выражение [math]x \succ x^*[/math] означает, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math].

Говорят, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math]. по Парето, если [math]x[/math] не хуже [math]x^*[/math] по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходит [math]x^*[/math]. В таком случае в выборе [math]x^*[/math] нет смысла, т.к. [math]x[/math] по всем параметрам не уступает, а по каким-то и превосхожит [math]x^*[/math]. Если рассматривать всего два критерия то на рис. 1 показана область пространства, доминируемая данным решением А. Эта область «замкнута»: элементы на ее границе также доминируемы А

Рис.1 – Доминируемые решения

Определение:

Для двух решений и говорят тогда и только тогда, когда – такую пару решений называют недоминируемой

На рис. 2 показана граница Парето для возможных решений в двухкритериальном пространстве

Рис.2 – Парето фронт

Множество Парето оптимальных недоминируемых решений называется Парето фронтом.

Multi-objectivization

Суть метода мульти-объективизации заключается в разбитии сложной задачи с одной целевой функцией на несколько подзадач, найти для каждой подзадачи решение и выбрать оптимальное решение.

Для выполнения оптимизации многокритериальной задачи мы должны добавить в целевую функцию новые параметры, либо должны добавить новые целевые функции.

Сложность этой процедуры заключается в разложении проблемы на ряд мелких независимых между собой подпроблем.

Алгоритмы

Hill-Climbers

Определение:

Hill-Climbers - Итеративный алгоритм, который начинается с произвольного решения проблемы, а затем пытается найти лучшее решение, постепенно изменяя его. Если изменения позволяют найти лучшее решение, алгоритм сохраняет его и повторяет и повторяет своё выполнение до тех пор, пока лучшие решения не могут быть найдены

Псевдокод

Discrete Space Hill Climbing Algorithm
   currentNode = startNode;
   loop do
      L = NEIGHBORS(currentNode);
      nextEval = -INF;
      nextNode = NULL;
      for all x in L 
         if (EVAL(x) > nextEval)
              nextNode = x;
              nextEval = EVAL(x);
      if nextEval <= EVAL(currentNode)
         //Return current node since no better neighbors exist
         return currentNode;
      currentNode = nextNode;

Задачи

Задача коммивояжера (TSP)является наиболее известно из всего класса [math]NP[/math]-сложных задач. Формулируется задача следующим образом:

Задано [math]C=\{c_1,c_2,\dots,c_N\} [/math]- множество городов и для каждой пары [math]\{c_i,c_j\}[/math] задано расстояние. Наша цель - найти цепь из городов, минимизирующую величину:

Для того, чтобы объектизировать эту задачу, нам необходимо определить подзадачи. TSP - является [math]NP[/math]-сложной именно потому, что нет хорошего разложения этой задачи.

Разобьём задачу таким образом:

where

and ,

где [math]a[/math] и [math]b[/math] - два города, указанных априори.

Предполагается, что [math]a[/math] и [math]b[/math] выбраны произвольно.

Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization