Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр
Версия от 10:33, 23 июня 2012; Dgerasimov (обсуждение | вклад) (→10 Наилучшее приближение в НП и его свойства)
1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в
Определение: |
То есть, . | — совокупность -периодических функций, суммируемых с -й степенью на промежутке .
Определение: |
Тригонометрическим рядом называется ряд:
Если, начиная с какого-то места, . , то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом. |
Теорема: |
Пусть тригонометрический ряд сходится в и имеет суммой функцию . Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
. |
Определение: |
Пусть функция | . Ряд Фурье — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
2 Ядра Дирихле и Фейера
Определение: |
— тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле. |
Определение: |
— интеграл Дирихле. |
Определение: |
. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки c ядром . |
Определение: |
— тригонометрический полином такого вида называется ядром Фейера. |
3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)
TODO: пилим
4 Теорема Фробениуса
TODO: пилим
5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве
TODO: пилим
6 Теорема Фейера
TODO: пилим
7 Следствие о двух пределах
TODO: пилим
8 Всюду плотность множества в пространствах
TODO: пилим
9 Теорема Фейера в пространствах
TODO: пилим
10 Наилучшее приближение в НП и его свойства
Пусть
— нормированное пространство, к примеру, . Пусть — линейное множество в , например, (тригонометрических полиномов степени не больше ).Определение: |
Для любого | величина называется наилучшим приближением точки элементами линейного множества . Если при этом существует такой, что , то этот называется элементом наилучшего приближения точки .
Заметим: гарантий, что
единственный и что он вообще существует, нет.Утверждение: |
Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника. |
Теорема: |
Пусть — нормированное пространство, , тогда существует элемент наилучшего приближения . |
11 Существование элемента наилучшего приближения
TODO: пилим
12 Обобщенная теорема Вейерштрасса
TODO: пилим
13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из
TODO: пилим
14 Теорема Дини
TODO: пилим
15 Следствие о четырех пределах
TODO: пилим
16 Полная вариация функции и ее аддитивность
TODO: пилим
17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций
TODO: пилим
18 У словие существования интеграла Стилтьесса
TODO: пилим
19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции
TODO: пилим
20 Аддитивность интеграла Стилтьесса
TODO: пилим
21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана
TODO: пилим
22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса
TODO: пилим
23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации
TODO: пилим
24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации
TODO: пилим
25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье
TODO: пилим
26 Ряды Фурье в : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
TODO: пилим
27 Замкнутые и полные о.н.с.
TODO: пилим
28 Равенство Парсеваля
TODO: пилим
29 Теорема Лузина-Данжуа
TODO: пилим
30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из
TODO: пилим
31 Принцип локализации для рядов Фурье
TODO: пилим
32 Почленное интегрирование ряда Фурье
TODO: пилим
33 Модуль непрерывности и его свойства
TODO: пилим
34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности
TODO: пилим
35 Модуль непрерывности в пространстве
TODO: пилим
36 Ядро Джексона
TODO: пилим
37 Теорема Джексона
TODO: пилим
38 Следствия для
TODO: пилим
39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов
TODO: пилим
40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений
TODO: пилим
41 Явление Гиббса
TODO: пилим
42 Константа Лебега ядра Дирихле
называется константой Лебега. .
43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега
TODO: пилим
44 Частный интеграл Фурье
TODO: пилим
45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье
TODO: пилим