Теорема Фейера

<<>>

Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt[/math]

[math](\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))[/math]

Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к [math]f[/math] либо в индивидуальной точке, либо в пространстве [math]L_p[/math] (по норме этих пространств).

Любая сумма Фейера — тригонометрический полином: [math]\sigma_n(f) \in H_n[/math].

Теорема Фейера в L_1

Теорема (Фейер):

Пусть [math]f \in L_1[/math], [math]s \in \mathbb{R}[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math], [math]\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0[/math]. Тогда [math]\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s[/math] Используя результаты, полученные здесь, [math]\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt[/math] Надо доказать, что этот интеграл при [math]n\to\infty[/math] стремится к [math]0[/math]. Воспользуемся положительностью [math]\Phi_n[/math]: [math]|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t) dt[/math]. Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: [math]h_n = \frac1n[/math], [math]\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi[/math], и рассмотрим по отдельности. Утверждение: [math]\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0[/math] [math]\triangleright[/math] Воспользуемся неравенствами [math]|\sin nt| \leq n|\sin t|[/math] и [math]\frac2\pi t \leq \sin t \leq t[/math] ([math]t \in [0; \frac\pi2][/math]) [math]\sin^2(n+1)\frac{t}2 \leq (n+1)^2\sin^2\frac{t}2[/math] [math]\frac{\sin^2(n+1)\frac t2}{\sin^2\frac{t}2} \leq (n + 1)^2,\ n + 1 \leq 2n[/math] Значит, [math]\int\limits_0^{h_n} \leq \frac1{2\pi}(n+1)\int\limits_0^{1/n} |\varphi_x(t)|dt \leq \frac1{\pi} \cdot \frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt[/math]. По условию теоремы, [math]\frac1{h_n}\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)|dt \to 0[/math]. [math]\triangleleft[/math] Утверждение: [math]\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2 t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0[/math] [math]\triangleright[/math] [math]\sin^2 \frac{n+1}2 t \leq 1[/math], [math]\sin^2 \frac t2 \geq \left(\frac2\pi \frac t2\right)^2 = \left(\frac{t}{\pi}\right)^2[/math]. [math]\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2}{\sin^2\frac t2} dt \leq[/math][math]\int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n + 1)} \frac1{\left(\frac{t}\pi\right)^2} \leq[/math] [math]\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = [/math][math]\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = [/math] ([math]\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy [/math]; проинтегрируем по частям. Здесь [math]\Phi_x(t)[/math] — НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл) [math]= \frac\pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)[/math]. Оценим каждое из слагаемых. Первое слагаемое ([math]h_n \frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) - h_n \frac1{h_n^2}\Phi_x(h_n)[/math]): [math]\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi)[/math] - константа, [math] h_n \to 0[/math]; [math]h_n \frac1{h_n^2} \Phi_x(h_n) = \frac1{h_n} \int\limits_0^{h_n} |\varphi_x(y)| dy \to 0[/math] по условию теоремы. Второе слагаемое: [math]h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = [/math][math]h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt[/math] По условию теоремы, [math] \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 [/math]. Распишем это по определению: [math]\forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy \lt \varepsilon[/math]. Пусть, начиная с какого-то [math]N[/math], [math] h_n \lt \delta[/math] Тогда [math]h_n\int\limits_{h_n}^\pi(...)\frac1{t^2} \stackrel{h_n \lt \delta}{=} h_n \int\limits_{h_n}^\delta + h_n\int\limits_\delta^\pi[/math] [math]h_n \int\limits_{h_n}^\delta(...)\frac1{t^2} dt \lt \varepsilon h_n \int\limits_{h_n}^\delta \frac1{t^2} dt = [/math][math]\varepsilon h_n \left(\frac1{h_n} - \frac1\delta\right) \leq a \varepsilon[/math] Второй интеграл [math]h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0[/math], так как [math]\int\limits_\delta^\pi[/math] — константа для данного [math]\delta[/math], а [math]h_n \to 0[/math]. [math]\triangleleft[/math] Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Точку [math]x[/math] принято называть регулярной, если в этой точке существуют односторонние пределы.

Например, любая точка непрерывности — регулярная.

Утверждение (следствие Фейера о двух пределах):

Пусть точка [math]x[/math] — регулярная, тогда в ней [math]\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 [/math]

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} [/math]. Так как [math]f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) [/math], по определению предела [math] \forall\varepsilon\exists\delta : 0 \lt t \lt \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| \lt \varepsilon[/math]. Для таких [math]t[/math]: [math]|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| \lt 2\varepsilon[/math], и интересующий нас интеграл [math]\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon[/math]. Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, [math]\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 [/math]. В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.

[math]\triangleleft[/math]

Заметим, что если в теореме Фейера [math]f \in C[/math] (непрерывные [math]2\pi[/math]-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке [math]x[/math], и, самое важное, равномерно по [math]x[/math], то есть,

В этом случае, [math]\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f[/math] на [math] \mathbb{R} [/math].

Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по [math]x[/math] (из теоремы Кантора: [math]f[/math] — непрерывно на [math][a; b][/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]f[/math] — равномерно непрерывна на нём)

Теорема Фейера в L_p

Установим теперь теорему Фейера в [math]L_p[/math].

Утверждение:

[math]f \in L_p \Rightarrow \| \sigma_n(f)\|_p \le \|f\|_p [/math]

[math]\triangleright[/math]

Так как [math] \sigma_n(f) \in H_n [/math], то [math] \sigma_n(f) \in L_p [/math]. [math] \| \sigma_n(f)\|^p_p = \int\limits_{Q} |\sigma_n(f)|^pdx, \sigma_n(f, x) = \int\limits_{Q} f(x+t) \Phi_n(t) dt [/math]. [math] |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = [/math] (возьмем [math] q:\ \frac1p + \frac1q = 1 [/math]) [math]= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}[/math] (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен [math] 1 [/math]. Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве: [math] \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = [/math] (по теореме Фубини меняем порядок интегрирования) [math] = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =[/math] [math]\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx [/math]. Возводя неравенство в степень [math] \frac1p [/math], получаем требуемое.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Фейер):

[math]f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\sigma_n(f) \in H_n[/math], [math]E_n(f)_p \leq \|f-\sigma_p(f)\|_p[/math] Используем тот факт, что в [math]C[/math] теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на [math] \mathbb{R}[/math]: [math]f\in C \Rightarrow \sigma_n(f) \stackrel{\mathbb{R}}{\rightrightarrows} f,\ n \to \infty[/math]. Рассмотрим произвольную функцию [math] g \in L_p [/math]. Ранее нами уже было доказано, что пространство [math]C[/math] всюду плотно в [math]L_p[/math] : [math]\forall\varepsilon\gt 0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p\lt \varepsilon[/math]. [math]\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq[/math] (по записи интеграла Фейера очевидно [math]\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)[/math]) [math]\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p}} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p [/math]. По доказанному только что утверждению, [math] \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon [/math]. Значит, [math]\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p[/math] [math]\forall f\in C : \|f\|_p^p = \int\limits_Q|f(t)|^p dt[/math]. [math]|f(t)| \leq \|f\|_\infty = \max\limits_Q |f(t)|[/math] [math]\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p[/math] [math]\|f\|_p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty[/math] [math]\varphi\in C[/math], [math]\sigma_n(\varphi) \in C[/math], [math]\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C[/math] [math]\|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p \leq (2\pi)^{1/p} \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty[/math] [math]\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p[/math] Так как в [math]C[/math] верна теорема Фейера, то [math]\forall \varepsilon\gt 0\exists N \forall n \gt N : \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_\infty \lt \varepsilon[/math] Значит, [math]\forall n \gt N\forall\varepsilon \gt 0 : \|\sigma_n(g) - g\|_p \leq (2 + (2\pi)^{1/p}) \varepsilon[/math], и теорема верна по определению предела.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Теорема Вейерштрасса в [math]L_p[/math]):

[math]f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Эту теорему принято также называть обобщенной теоремой Вейерштрасса. Любая сумма Фейера [math]\sigma_n(f)\in H_n[/math]. Исходя из определения наилучшего приближения [math]E_n(f)_p \le \|f-\sigma_n(f)\|_p[/math]. Значит [math]E_n(f)_p \to 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

<<>>