Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список

Признак Вейерштрасса

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема о перестановке пределов

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование ``произведений

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании ``сдвига

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n : E \rightarrow \mathbb{R} [/math] ([math] E [/math]— метрическое пространство). Пусть есть ряд [math] \sum c(x) [/math] — сходящийся, такой, что [math] \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n [/math]. Тогда [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

[math]\triangleleft[/math]

//критерий Коши — это, блин, што?

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], равномерно сходится на [math] X [/math]. Пусть есть точка [math] x_0 \in X [/math], такая, что все [math] u_n [/math] непрерывны в [math] x_0 [/math]. Тогда [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math] непрерывна в точке [math] x_0 [/math].

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C[a; b] [/math] ([math] C [/math] — множество непрерывных функций), [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. Тогда [math] \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx [/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Проверить пункты про сходимость

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C'[a; b] [/math] ([math] C' [/math] — множество непрерывно дифференцируемых функций). [math] \sum u_n(x) [/math] поточечно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. [math] \sum u'_n(x) = \varphi(x)[/math] при [math] x \in [a, b] [/math],[math] \sum u'_n(x) [/math] — равномерно сходится на [math] [a; b] [/math] к [math] \varphi(x) [/math]. Тогда [math] S(x) \in C'([a, b]) [/math] и [math] S'(x) = \phi(x) [/math].

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть [math] u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle [/math]. 1) [math] \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n [/math] 2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] Тогда 1) [math] \sum a_n [/math] — сходится 2) [math] \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) [/math]

Теорема о перестановке пределов

([math] \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} [/math])

Теорема:

Пусть [math] f_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in X [/math] (или даже [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] X [/math]) 1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при [math] n \to + \infty, \ x \in X [/math] 2) [math] f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n [/math] Тогда 1) [math] \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} [/math] 2) [math] S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A [/math]

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math] 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. [math] \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть [math] \sum a_n [/math] сходится. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \sum a_n x^n [/math]. Тогда [math] \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) [/math].

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

[math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

[math] \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} [/math]

[math] (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z) ≠ 0, \ \forall z \in \mathbb{C} [/math]

[math] \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} [/math]

[math] \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} [/math]

[math] \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) [/math]

[math] \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

[math] \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} [/math]

Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

[math] \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) [/math]

[math] \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) [/math]

[math] |T(x)| = 1 [/math]

[math] \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 [/math]

[math] e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... [/math]

[math] \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... [/math]

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...[/math]

[math] |x| \lt 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... [/math]

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю [math]t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/math] (достаточно взять [math]|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)[/math], где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем: [math]f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0[/math]. Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим: [math]{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah[/math], то есть [math]Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций [math]f_i[/math] в точке [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: [math]f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m][/math]. Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть [math]f_i[/math] дифференцируемы в точке [math]x[/math]. Тогда для каждого [math]i\in[1:m][/math] существует линейная функция [math]A_i[/math] и функция [math]\alpha_i[/math], непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для [math]f[/math] выполняется равенство из определения производного оператора, где [math]A[/math] — оператор с координатными функциями [math]A_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование «произведений»

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Определения и факты

Список

Равномерно сходящийся ряд

Признак Абеля равномерной сходимости

Радиус сходимости степенного ряда

Формула Адамара

Комплексная производная

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Отображение бесконечно малое в точке

$o(h)$ при $h\to 0$

Частные производные

Производная по вектору, по направлению

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Классы функций $C^k(E)$

Мультииндекс и обозначения с ним

Формула Тейлора (различные виды записи)

$n$-й дифференциал

Норма линейного оператора

Локальный максимум, минимум, экстремум

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Диффеоморфизм

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в ${\mathbb R}^m$

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Кусочно-гладкий путь

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Потенциальное векторное поле

Потенциал векторного поля

Похожие пути

Локально-потенциальное векторное поле

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Односвязная область

Равномерно сходящийся ряд

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4568/%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A0%D0%9D%D0%9E

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e7fcbdcc-1e1d-438f-b821-dbbe69c37389/view/

Формула Адамара

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бред)

Комплексная производная

http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)

Экспонента синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l. [/math]

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

//[math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D.

//[math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math].

//[math]\mathbb{O}_n[/math] — ???

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

[math]V_{\mathbb{O}_n}[/math] — ???

Определение:

Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] и такое отображение [math]\alpha:V_{\mathbb{O}_n}\to\mathbb{R}^m[/math], в нуле непрерывное и равное нулю, что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+\alpha(h)|h|[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Частные производные

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F

Производная по вектору, по направлению

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8E

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2

Классы функций $C^k(E)$

Мультииндекс и обозначения с ним

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81

Формула Тейлора (различные виды записи)

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules4.php

$n$-й дифференциал

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2

Норма линейного оператора

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)#.D0.9D.D0.BE.D1.80.D0.BC.D0.B0_.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B0

Локальный максимум, минимум, экстремум

http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=52

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Диффеоморфизм

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m