Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список теорем

Ненаписанные теоремы

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля — без теоремы Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах — не знаю, что хочет Костик, но знаю, что думает Виноградов

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре — проверить текст леммы и та ли она вообще

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов — проверить формулировку

Теоремы без доказательств

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля — проверить первую строчку док-ва

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Дифференцирование композиции

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n : E \rightarrow \mathbb{R} [/math] ([math] E [/math]— метрическое пространство). Пусть есть ряд [math] \sum c_n [/math] — сходящийся, такой, что [math] \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n [/math]. Тогда [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math] ( [math]X[/math] — метрическое пространство), равномерно сходится на [math] X [/math]. Пусть есть точка [math] x_0 \in X [/math], такая, что все [math] u_n [/math] непрерывны в [math] (\cdot) x_0 [/math]. Тогда [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math] непрерывна в точке [math] (\cdot) x_0 [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) [/math] — непрерывна в [math] (\cdot) x_0 [/math] 2) [math] S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S [/math] из 1) и 2) [math] \Rightarrow S(x) [/math] непрерывна в [math] (\cdot) x_0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C[a, b] [/math] ([math] C [/math] — множество непрерывных функций), [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. Тогда[math] * [/math] [math] \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx [/math] [math] * [/math] 1) [math] S(x) [/math] — непрерывно [math] \rightarrow [/math] интеграл имеет смысл. 2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx [/math] Сделаем предельный переход по [math]N[/math] [math] S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Проверить пункты про сходимость

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C'[a; b] [/math] ([math] C' [/math] — множество непрерывно дифференцируемых функций). [math] \sum u_n(x) [/math] поточечно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. [math] \sum u'_n(x) = \varphi(x)[/math] при [math] x \in [a, b] [/math],[math] \sum u'_n(x) [/math] — равномерно сходится на [math] [a; b] [/math] к [math] \varphi(x) [/math]. Тогда [math] S(x) \in C'([a, b]) [/math] и [math] S'(x) = \varphi(x) [/math].

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть [math] u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle [/math]. 1) [math] \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n [/math] 2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] Тогда 1) [math] \sum a_n [/math] — сходится 2) [math] \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) [/math]

Теорема о перестановке пределов

([math] \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} [/math])

Теорема:

Пусть [math] f_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in X [/math] [или даже [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] X [/math]] 1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при [math] n \to + \infty, \ x \in X [/math] 2) [math] f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n [/math] Тогда 1) [math] \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} [/math] 2) [math] S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; [/math] Тогда: [math] f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) [/math] Условие 1: [math] \sum u_n [/math] р. сх. к сумме [math] S(x) [/math] [math] u_n = f_n - f_{n - 1} [/math] Условие 2: [math] lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} [/math] (при [math] n = 1[/math] проявить сообразительность) [math] A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k [/math] по теореме о почл. пр. переходе в суммах: 1) [math] \sum a_k [/math] — сх., т.е. [math]\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A[/math] 2) [math] \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) [/math] [math] S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: верна теорема [math] f(x, y) [/math]

[math] lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) [/math]

при условии 1: [math] \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) [/math] — и этот предел равномерный

[math]\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)[/math]

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math] 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. [math] \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть [math] \sum a_n [/math] сходится. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \sum a_n x^n [/math]. Тогда [math] \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]a_n, b_n = x^n ?; \ X = [0, 1][/math] [math] \sum a_n x^n [/math] — по пр. Абеля равномерно сх-ся [math][0, 1][/math] [math]lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема:

[math] \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k [/math] — произв. ст. ряд [math] [ a_k \in \mathfrak{C}, z [/math] — комплексная переменная [math] ] [/math] или [math] [ a_k \in \Re; z, z_0 \in \Re ] [/math] Возьмём три случая: 1) [math] \forall z \in \mathfrak{C} [/math] — ряд [math] (A) [/math] сходится 2) [math] (A) [/math] — сходится только при [math] z = z_0 [/math] 3) [math] \exists R [/math] [math] 0 \lt R \lt + \infty [/math] при [math] |z - z_0| \lt R [/math] сходится [math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится [math] R [/math] — радиус сходимости

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Нужно доказать абсолютную сходимость [math] \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k [/math] Признак Коши: [math] \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} [/math] 1) [math] \overline{lim} = 0 [/math] при всех [math] z [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно 2) [math] \overline{lim} = + \infty [/math] при [math] z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 [/math], т.е. ряд сходится при [math] z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty [/math] расходится (слагаемые [math] \nrightarrow 0 [/math]) 3) [math] \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} [/math] — конечен [math] = \frac{1}{R} [/math] [math] |z - z_0| \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно [math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится (слагаемые [math] \nrightarrow 0 [/math])

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Теорема:

Ряд [math] (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 \lt R \le + \infty [/math] — р. сх-ся Тогда: 1) Для [math] r : 0 \lt r \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] р. сх-ся в круге [math] \overline{B(z_0, r)} [/math] 2) В круге [math] B(z_0, R) [/math] сумма ряда [math] (A) [/math] — непрерывна.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

(1) Признак Вейерштрасса [math] z \in \overline{B(z_0, r)} [/math] [math] |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n [/math] [math] \sum |a_n| \cdot r^n [/math] — сходится! т.к. [math] \sum a_n \cdot r^n [/math] — абс. сх. [math] (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) [/math] (2) фиксируем [math] z \in B(z_0, R) [/math]; Возьмём [math] r : |z - z_0| \lt r \lt R [/math] В [math] B(z_0, r) [/math] ряд р. сх. и слагаемые непр. [math] \Rightarrow [/math] сумма непрерывна.

[math]\triangleleft[/math]

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Рассмотрим ряды [math] \sum_{n=0}^{+ \infty} a_n (z - z_0)^n = f(z), \ R \in [0; + \infty], \ |z - z_0| \lt R [/math] и [math] (\sum_{n=1}^{+ \infty} n a_n(z - z_0)^{n-1} [/math] Тогда: 1) радиус сходимости второго ряда равен [math] R [/math] 2) при [math] |z - z_0| \lt R \ f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} [/math]

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

[math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

[math] \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} [/math]

[math] (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z) ≠ 0, \ \forall z \in \mathbb{C} [/math]

[math] \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} [/math]

[math] \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} [/math]

[math] \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) [/math]

[math] \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

[math] \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} [/math]

Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

[math] \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) [/math]

[math] \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) [/math]

[math] |T(x)| = 1 [/math]

[math] \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 [/math]

[math] e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... [/math]

[math] \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... [/math]

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...[/math]

[math] |x| \lt 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... [/math]

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю [math]t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/math] (достаточно взять [math]|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)[/math], где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем: [math]f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0[/math]. Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим: [math]{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah[/math], то есть [math]Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций [math]f_i[/math] в точке [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: [math]f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m][/math]. Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть [math]f_i[/math] дифференцируемы в точке [math]x[/math]. Тогда для каждого [math]i\in[1:m][/math] существует линейная функция [math]A_i[/math] и функция [math]\alpha_i[/math], непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для [math]f[/math] выполняется равенство из определения производного оператора, где [math]A[/math] — оператор с координатными функциями [math]A_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие дифференцируемости.

Теорема:

[math] f : E \subset \Re^m \rightarrow \Re [/math] — дифф. [math] a \in Int(E) [/math] Тогда [math] \forall x \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) [/math] и матрица Якоби [math] f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) [/math] Замечание: Для [math] F : E \rightarrow \Re^l [/math] — дифф. [math](a)[/math]; [math]F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)[/math] [math] h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) [/math] [math] f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) [/math] — это св-во дифф-ти [math] \varphi_k [/math] в [math] \cdot (a) [/math] из опр. частн. производных [math] {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Достаточное условие дифференцируемости

Теорема:

[math] f : E \subset \Re^m \rightarrow \Re; \ \exists r \ B(a, r) \subset E [/math] В шаре [math]B(a, r) [/math] существуют все [math] f'x_k, k = {1..m} [/math] и все производные непрерывны в [math] (\cdot) a[/math] Тогда [math] f [/math] дифф. в [math] (\cdot) \ a[/math]

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть [math] A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math] — линейный оператор. Тогда [math] \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = C_A || x || [/math], где [math] C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} [/math] ([math] a_{i, j} [/math] — элементы его матрицы)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] ||x|| = 0 [/math], т.е. если [math] x = 0 [/math], то тривиально [math] ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le [/math] (КБШ) [math] \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) [/math] [math] x^{(k)} \rightarrow x [/math] [math]||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 [/math] [math] Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax [/math] [math] ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Дифференцирование композиции

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l, \ a \in \operatorname{Int} E, \ F(E) \subset I [/math], [math] G: I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n, \ b = F(a) \in \operatorname{Int} I [/math], [math] F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], [math] G [/math] дифференцируемо в [math] b [/math]. Тогда [math] G \circ F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], и при этом [math] (G \circ F)'(a) = G'(F(a)) ⋅ F'(a) [/math]

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть [math] F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] \lambda: E \to \mathbb{R} [/math], [math] a \in \operatorname{Int} E [/math]; [math] F, G, \lambda [/math] — дифференцируемые в [math] a [/math]. тогда: 1) [math] (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) [/math] 2) [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle [/math] (здесь [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] — скалярное произведение [math] a [/math] и [math] b [/math])

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Введём координатную ф-ю [math] F = (f_1 \ldots f_l) [/math] [math] (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) [/math] — [math]i[/math]-ая коорд. док. ф-лы; [math] ]f_i \leftrightarrow f [/math] [math] \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) = (\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) [/math] [math] || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 [/math] [math] ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| [/math] — ограничена. [math] ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) [/math] 2. [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = [/math] лин. дифф. [math] \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) [/math][math] + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle [/math] Замечание: [math]m = 1; \ F, G : \Re \rightarrow \Re^l [/math] [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

Пусть [math] a, b \in \mathbb{R} [/math], [math] a \lt b [/math], вектор-функция [math] f: [a, b] \to \mathbb{R}^m [/math] непрерывна на [math] [a, b] [/math] и дифференцируема на [math] (a, b) [/math]. Тогда найдётся такая точка [math] c \in (a, b) [/math], что [math] || f(b) - f(a) || \leqslant || f'(c) || \cdot |b - a| [/math].

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

Пусть функция [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math] дифференцируема в точке [math] x \in \operatorname{Int} D, \ \operatorname{grad} f(x) \neq \mathbb{O}_n [/math]. Тогда для любого [math] h \in \mathbb{R}^n: |h| = 1[/math] верно [math] \ -|\operatorname{grad} f(x)| \leqslant D_h f(x) \leqslant | \operatorname{grad} f(x)| [/math].

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

Пусть [math] r - 1 \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{r} (D), \ i_1, ... , i_r \in [1 : n] [/math], набор [math] (j_1, ..., j_r) [/math] получен из набора [math] (i_1, ... , i_r) [/math] перестановкой. Тогда для всех [math] x \in D [/math] верно [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{j_1, ..., j_r}^r f(x) [/math].

Полиномиальная формула

Лемма:

Если [math] r \in \mathbb{Z}_+ [/math], [math] a [/math] — мультииндекс, то [math] (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} [/math]

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} [/math], [math] E [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^m [/math], [math] \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m [/math], так, что [math] \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E [/math]. Также [math] f \in C^r(E) [/math]. Пусть [math] \varphi (t) = f(a + th) [/math]. Тогда [math] \forall t_0 \in (-1; 1) [/math] верно [math] \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} [/math].

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{R}_+ [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D [/math]. Тогда существует такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math].

Также можно обозначить точки через [math] x [/math] и [math] x + h [/math], тогда формула запишется в виде [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math].

Пеано:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r)} (D), \ x \in D [/math]. Тогда [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math].

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

Пусть [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], отображение [math] f: D \to \mathbb{R}^m [/math] дифференцируемо на [math] D [/math], [math] \overline{a, b} \subset D [/math] ([math] \overline{a, b} = \{a + t(b - a): t \in [0, 1]\} [/math] называется отрезком с концами [math] a [/math] и <tex< b </tex>). Тогда найдётся такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] |f(b) - f(a)| \leqslant || f'(a + \theta(b - a)) || \cdot |b - a| [/math].

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема:

Пусть [math] A \in \Omega(\mathbb{R}^n) [/math] ([math] \Omega(\mathbb{R}^n) [/math] — множество обратимых линейных операторов в [math] \mathbb{R}^n [/math]), [math] B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || \lt \frac{1}{||A^{-1}||} [/math]. Тогда: 1) [math] B \in \Omega (\mathbb{R}^n) [/math]; 2) [math] ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} [/math]; 3) [math] ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| [/math].

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Теорема:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \operatorname{Int} D [/math] — точка экстремума [math] f, \ k \in [1 : n] [/math]. Тогда если [math] D_k f(x_0) [/math] существует, то [math] D_k f(x_0) = 0 [/math].

Теорема Ролля — ???

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Наверное, это не совсем то

Утверждение:

Если форма [math] K [/math] положительно определена, то существует такое [math] \gamma \gt 0 [/math], что [math] K(h) \geqslant \gamma |h|^2 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Достаточное условие экстремума

Теорема:

Пусть [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(2)}(D), \ x_0 \in D [/math] — стационарная точка [math] f [/math] (то есть [math] \nabla f(x_0) = \mathbb{O}_n [/math]). Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] положительно определённая, то [math] x_0 [/math] — точка строгого минимума [math] f [/math]. 2) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] отрицательно определённая, то [math] x_0 [/math] — точка строгого максимума [math] f [/math]. 3) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] неопределённая, то [math] x_0 [/math] — не точка экстремума [math] f [/math].

Лемма о почти локальной инъективности

Лемма:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math] — диффеоморфизм, [math] x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 [/math]. Тогда [math] \exists c, \delta \gt 0 \ \forall h: |h| \lt \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| [/math]

Теорема о сохранении области

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто — диффеоморфизм в [math] O [/math], [math] \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 [/math]. Тогда [math] F(O) [/math] открыто.

Теорема о диффеоморфизме

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) [/math], [math] F [/math] — обратима и невырождена, [math] \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 [/math]. Тогда: 1) [math] F^{-1} \in C^r [/math] 2) [math] y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} (y_0) [/math]

Теорема о локальной обратимости

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто, [math] F \in C^1(O, \mathbb{R}^m) [/math] (т.е. [math] F [/math] 1 раз непрерывно дифференцируемо на [math] O [/math], а его первая производная непрерывна на [math] D [/math]), [math] x_0 \in O, \ \det F'(x_0) \neq 0 [/math]. Тогда [math] \exists U(x_0): \ F | _U [/math] — диффеоморфизм ([math] F |_U [/math] или [math] F|U [/math] — сужение отображения [math] F [/math] на множество [math] U [/math]).

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n [/math], где [math] E [/math] открыто, [math] F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 [/math]. Пусть известно, что [math] F'_y (a, b) [/math] невырождено ([math] \det F'_y (a, b) \neq 0 [/math]). Тогда: 1) существуют открытые [math] P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q [/math], и существует единственное [math] \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r [/math], что [math] \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 [/math] 2) [math] \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) [/math]

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Теорема:

Пусть [math] M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k \lt m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty [/math] (гладкое многообразие), [math] p \in M [/math]. Эквивалентные утверждения: 1) [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие 2) [math] \exists \tilde{U}(p) [/math] и существуют функции [math] f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} [/math] класса [math] C^r [/math], для которых выполняются условия: 2.1) [math] x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 [/math] 2.2) [math] \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} [/math] — линейно независимые

Необходимое условие относительного локального экстремума

Теорема:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} [/math], где [math] E [/math] открыто, [math] \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n [/math]. Пусть [math] f [/math] имеет в точке [math] a [/math] локальный относительный экстремум. Тогда [math] \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n [/math], что [math] \begin{cases} f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\ \Phi(a) = \mathbb{O}_n \end{cases} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть ранг реализуется на столбцах [math] x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} [/math]. Переобозначим [math] y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} [/math]. По теореме о неявном отображении: [math] \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 [/math] [math] x \mapsto (x, \Psi(x)) [/math] — гл. параметризация [math] g(x) = f(x, \Psi(x)) [/math]; Точка [math] a_x [/math] — лок. экстремум [math] g' [/math]. [math] f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 [/math] — необходимое усл. экстремума в матр. форме. [math] \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Phi'(a_x) = 0 [/math] [math] \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 [/math] Тут должно быть ещё четыре строчки. Но я в них не уверен.

[math]\triangleleft[/math]

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Теорема:

Пусть [math] A \in \mathcal{L}_{m, n} [/math]. Тогда [math] || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda [/math] — собственное число [math] A^T \cdot A \} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Теорема:

1) Линейность по векторному полю: [math] I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) [/math]. 2) Аддитивность при дроблении пути: если раздробили путь [math] \gamma [/math] на [math] \gamma_1 [/math] и [math] \gamma_2 [/math], то [math] I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) [/math]. 3) Замена параметра: если [math] \varphi: [p; q] \to [a; b] [/math] — гладкая, [math] \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b [/math], [math] \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m [/math], [math] \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m [/math], то [math] I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) [/math]. 4) Пусть [math] \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 [/math] — произведение путей: [math] \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases} \gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\ \gamma_2(t - b + c), \ t \in [a; b + d - c] \end{cases} [/math], то [math] I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) [/math]. 5) Оценка интеграла: [math] | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max |V(x)| \cdot L(\gamma) [/math], где [math] L(\gamma) [/math] — длина пути.

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Теорема:

Пусть [math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] потенциально, [math] f [/math] — потенциал [math] V [/math], [math] \gamma[a;b] \to 0 [/math] — кусочно гладкий. Тогда [math] \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b [/math] — доказано для гладкого пути \\ [math] V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' [/math] [math] = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m [/math] \\ [math] \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m [/math] 2) [math] a = t_0 \lt t_1 \lt \ldots \lt t_n = b [/math] [math] \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} [/math] — гладкий [math] \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = [/math][math] \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Лемма:

Пусть [math] f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) [/math] — непрерывна, дифференцируема по [math] y [/math] при любых [math] x [/math] и [math] f'_y [/math] непрерывна на промежутке. Пусть [math] \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] [/math]. Тогда [math] \Phi(y) [/math] дифференцируема и [math] \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx [/math].

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Теорема:

Пусть [math] V [/math] — гладкое потенциальное векторное поле в [math] O [/math]. Тогда [math] \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i}, \ i, j \in [1 : m] [/math]

Лемма:

Пусть [math] O \subset \mathbb{R}^m [/math] — выпуклая, [math] V [/math] — векторное поле в [math] O [/math], гладкое и [math] \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} [/math]. Тогда [math] V [/math] — потенциальное.

Лемма о гусенице

Лемма:

Пусть [math] \gamma: [a, b] \to O [/math]. Тогда существуют дробление [math] a = t_0 \lt t1 \lt ... \lt t_n = b [/math] и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math], что [math] \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] [/math].

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма:

Пусть [math] \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m [/math] — кусочно-гладкие, похожие, [math] V [/math] — локально-потенциальное векторное поле, [math] \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) [/math]. Тогда [math] \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i [/math].

Лемма о похожести путей, близких к данному

Лемма:

Пусть [math] \gamma: [a, b] \to O [/math]. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] [math] \exists \delta \gt 0 [/math] такое, что если пути [math] \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O [/math] — «близкие» к [math] \gamma [/math], то есть [math] | \gamma(t) - \gamma_1(t) | \lt \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | \lt \delta [/math], то [math] \gamma_1, \gamma_2 [/math] похожи.

Равенство интегралов по гомотопным путям

Теорема:

Пусть [math] V [/math] — локально-потенциальное векторное поле в [math] O [/math], [math] \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O [/math] — связанно (петельно) гомотопны. Тогда [math] \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i [/math].

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Теорема:

Пусть [math] O [/math] — односвязная область, [math] V [/math] — локально потенциальное поле в [math] O [/math]. Тогда [math] V [/math] потенциально.

Следствие: если [math] O [/math] — односвязная, [math] V \in V'(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} [/math], то [math] V [/math] — потенциально.

Лемма:

Пусть [math] O [/math] — дополнение круга [math] \overline{B(0; 1/2)} [/math]. Тогда [math] O [/math] неодносвязна.

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Теорема:

[math] \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx [/math]

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Лемма:

Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна, [math] f(x) \gt 0 [/math] на [math] (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) [/math] строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда [math] \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} [/math].

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема:

Пусть [math] f \gt 0 [/math] на [math] (a; b) [/math], непрерывна, [math] \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q \gt -1, \ L \gt 0, \ \varphi [/math] строго непрерывно убывает, [math] \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p \gt 0, \ (c \gt 0) [/math]. Тогда [math] \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} L \cdot e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{cA^{\frac{q + 1}{r}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{r}) [/math].

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Теорема:

Пусть [math] f [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math]. Тогда существует многочлен [math] P_n(x), \ n = 1, 2 ... [/math], что [math] \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) [/math].

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Теорема:

[math] \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} [/math]

Определения и факты

Список ненаписанных определений

Комплексная производная

Односвязная область — проверить символьное пояснение

Равномерно сходящийся ряд

Определение:

Последовательность функций [math] f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) [/math] называется равномерно сходящейся на множестве [math] X [/math], если существует предельная функция [math] f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) [/math] и для любого числа [math] \varepsilon \gt 0 [/math] можно указать число [math] N = N(\varepsilon) [/math] такое, что [math] |f(x) - f_n(x) | \lt \varepsilon [/math] при [math] n \gt N [/math] и [math] x \in X [/math]. В этом случае пишут [math] f_n(x) \rightrightarrows f(x) [/math]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [math] X [/math], если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

см. Теорема о круге сходимости степенного ряда пункт 3.

Формула Адамара

Определение:

Число [math] R [/math] — радиус сходимости. [math] R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} [/math]

Комплексная производная

http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l [/math]. ([math] \mathbb{O}_l [/math] — [math] l [/math]-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math] ([math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] ([math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]), что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

Определение:

Оператор [math] A [/math] из определения производной называется производным оператором отображения [math] f [/math] в точке [math] x [/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Частные производные

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] [/math]. Производная [math] \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) [/math] (где [math] e^k [/math] — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции [math] f [/math] по [math] k [/math]-ой переменной в точке [math] x [/math] и обозначается ещё [math] D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) [/math].

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math], [math] x \in Int(D) [/math], [math] h \in \mathbb{R}^n [/math]. Предел [math] \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} [/math] называется производной функции [math] f [/math] по вектору [math] h [/math] в точке [math] x [/math] и обозначается [math] D_h f(x) [/math] или [math] \frac{\partial f}{\partial h}(x) [/math]. Если [math] |h| = 1 [/math], то вектор [math] h [/math] называется направлением, а производная по нему — производной по направлению [math] h [/math].

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что [math] r - a \in \mathbb{R} [/math] и частные производные порядка [math] r - 1 [/math] уже определены. Пусть [math] i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D [/math]. Частная производная функции [math] f [/math] порядка [math] r [/math] по переменным с номерами [math] i_1, ..., i_r [/math] в точке [math] x [/math] определяется равенством [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) [/math], если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, [math] r [/math] раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве [math] D [/math] пространства [math] \mathbb{R}^n [/math], обозначается [math] C^{(r)} (D) [/math] или [math] C^r (D) [/math]. По определению [math] C^0 (D) = C(D) [/math] — класс непрерывных на [math] D [/math] функций. Через [math] C^{(\infty)} (D) [/math] обозначается класс бесконечно дифференцируемых на [math] D [/math] функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор [math] k \in \mathbb{Z}_+^n [/math] называют мультииндексом. Величину [math] (k) = k_1 + ... + k_n [/math] называют высотой мультииндекса [math] k [/math].

Если [math] k = (k_1, .., k_n) [/math] — мультииндекс, [math] (k) \leqslant r [/math], то частную производную порядка [math] k [/math] (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса [math] C^{(r)} [/math] обозначают [math] D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} [/math]. Также полагают [math] k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! [/math], [math] h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} [/math], где [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

[math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math]

С остатком в интегральной форме:

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt [/math]

Формула в дифференциалах:

[math] f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) [/math]

Формула в координатах:

[math] f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) [/math]

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) [/math]. Тогда: [math] df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m [/math] [math] d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... [/math] [math] d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... [/math] [math] d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} [/math], где [math] c_{i_1, ..., i_r} [/math] — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность ([math] p(\lambda x) = |\lambda| p(x) [/math], где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника ([math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)[/math]). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть [math] X, Y [/math] — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), [math] A: X \to Y [/math] — линейный оператор. Нормой оператора [math] A [/math] называется величина [math] || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y [/math].

Локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D [/math]. Если существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math] выполняется неравенство: [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой максимума функции [math] f [/math]; [math] f(x) \lt f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой строгого максимума функции [math] f [/math]. Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если [math] x_0 [/math] является точкой (строгого) максимума или минимума функции [math] f [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой (строгого) экстремума [math] f [/math].

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Определение:

Пусть [math] K [/math] — квадратичная форма от [math] n [/math] переменных. 1) Если [math] K(h) \gt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно определённой. 2) Если [math] K(h) \lt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется отрицательно определённой. 3) Если форма [math] K [/math] принимает значения разных знаков, то [math] K [/math] называется неопределённой. 4) Если [math] K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n [/math] и существует такое [math] h \neq \mathbb{O}_n [/math], что [math] K(h) = 0 [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно (отрицательно) полуопределённой.

Диффеоморфизм

Определение:

Отображение [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в нуле, обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Теорема:

Дана система из [math] n [/math] уравнений для функций от [math] m + n [/math] переменных. Функции дифференцируемы [math] n [/math] раз. [math] \begin{cases} f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \end{cases} [/math] [math] \frac{\partial F}{\partial y} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\ \ & ... & \ \\ \frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix} [/math] Пусть [math] (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) [/math] удовлетворяет системе, [math] \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 [/math]. Тогда существует [math] u(a) \subset \mathbb{R}^m [/math] и существует единственное отображение [math] \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n [/math] такие, что [math] \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) [/math] удовлетворяет системе.

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m

Определение:

[math] M \subset \mathbb{R}^m [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие, если [math] \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M [/math]. [math] \Phi [/math] называется параметризацией. Если [math] \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k [/math] ([math] \operatorname{rg} [/math] — ранг), то [math] M [/math] — простое гладкое (класса [math] C^r [/math]) [math] k [/math]-мерное многообразие.

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} [/math] ([math] \Phi(x) = \mathbb{O}_n [/math] — уравнение связи). Тогда [math] p \in H_{\Phi} [/math] — локальный относительный (условный) экстремум [math] f [/math] при условии [math] \Phi = \mathbb{O}_n [/math]. Это значит, что [math] p [/math] — локальный экстремум [math] f | _{H_\Phi} [/math]. Если [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) \gt f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий), если [math] f(x) \geqslant f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.

Или в стиле определения обычного экстремума:

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D [/math]. Если [math] \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m [/math] и существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math], удовлетворяющего условию [math] \Phi(x) = \mathbb{O}_m [/math], выполняется равенство [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой условного или относительного максимума функции [math] f [/math] при условии связи [math] \Phi (x) = \mathbb{O}_m [/math].

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Утверждение:

Пусть для точки [math] a [/math] выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть [math] h = (h_1, ..., h_{m+n}) [/math] — решение уравнения [math] \Phi'(a) h = 0 [/math]. Рассмотрим квадратичную форму [math] Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a [/math], где [math] G [/math] — функция Лагранжа ([math] G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) [/math], [math] \varphi_i [/math] — условия), где [math] \lambda_1, ... \lambda_n [/math] взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если [math] Q [/math]: 1) положительно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного минимума; 2) отрицательно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного максимума; 3) незнакоопределена, то [math] a [/math] — не точка локального относительного экстремума; 4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли [math] a [/math] точкой локального относительного экстремума.

Кусочно-гладкий путь

Определение:

Путь — [math] \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M [/math], непрерывное [math] L = \varphi([a; b]) [/math] — носитель пути («кривая») [math] \varphi [/math] — кусочно-гладкий путь, если существует дробление [math] t_0 = a \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b [/math] такое, что [math] \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} [/math] — гладкий путь.

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Определение:

[math] V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] E [/math] открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля [math] V [/math] — гладкое векторное поле, если [math] V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) [/math] Пусть [math] V [/math] — непрерывное векторное поле в [math] E [/math], [math] \gamma [/math] — кусочно-гладкий путь в [math] E [/math]: [math] \gamma: [a; b] \to E [/math]. Тогда интеграл векторного поля по пути [math] \gamma [/math] равен [math] I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) [/math], где [math] x_i = \gamma_i(t) [/math].

Потенциальное векторное поле

Определение:

Пусть [math] O \subset \mathbb{R}^m [/math] ([math] O [/math] — область). [math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] потенциально в [math] O [/math], если существует потенциал [math] F: O \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] F [/math] дифференцируемо в [math] O [/math], такой, что [math] \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] [/math].

Потенциал векторного поля

Определение:

[math] F [/math] из предыдущего определения — потенциал.

Похожие пути

Определение:

Пути [math] \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m [/math] — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).

Локально-потенциальное векторное поле

Определение:

[math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] — локально-потенциальное, если [math] \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O [/math] такое, что [math] V [/math] — потенциальное в [math] U(x) [/math].

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Определение:

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Определение:

Пусть [math] \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O [/math]. [math] \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O [/math] — гомотопия этих путей, если она непрерывна и [math] \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) [/math]. Связанная гомотопия — [math] \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) [/math]. Петельная гомотопия — [math] \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) [/math].

Односвязная область

???

Определение:

Область [math] O [/math] — односвязная, если любая петля в [math] O [/math] стягиваема: [math] \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 [/math] — петельно гомотопные пути, [math] \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma(t) \equiv \gamma(a) [/math].