Корреляция случайных величин

Определение

Определение:

Корреляция случайных величин: пусть [math]\eta,\xi[/math] — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их корреляция определяется следующим образом: [math]Corr(\eta,\xi)={Cov(\eta,\xi) \over \sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}[/math], где [math]\sigma_{\eta}=\sqrt{D(\eta)}[/math] называется среднеквадратичным отклонением и равно квадратному корню из дисперсии, а [math]Cov(\eta,\xi)[/math] - ковариацией случайных величин

Вычисление

Заметим, что [math]\sigma_{\xi} = \sqrt{D(\xi)} = E\big((\xi-E(\xi))^2\big)[/math]

[math]Corr(\eta,\xi)={Cov(\eta,\xi) \over \sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}} = {E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big) \over {\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)}}} ={E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}[/math]

Свойства корреляции

Утверждение:

Корреляция симметрична: [math]Corr(\eta,\xi) = Corr(\xi,\eta)[/math].

[math]\triangleright[/math]

[math]Corr(\eta,\xi) = { E(\eta \times \xi) - E(\eta) \times E(\xi) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)} } = { E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\xi)} \times \sqrt{D(\eta)} } = Corr(\xi,\eta)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Корреляция случайной величины с собой равна 1:

[math]\triangleright[/math]

[math]Corr(\eta,\eta) = { E(\eta \times \eta) - E(\eta) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\eta)} } = {D(\eta) \over D(\eta)} = 1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Корреляция лежит на отрезке [math][-1, 1][/math]:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства будем использовать свойство ковариации: [math]Cov^2(\eta, \xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2[/math] Если правая часть не равна [math]0[/math], то приходим к следующему неравенству: [math] {Cov^2(\eta,\xi)\over(\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2)} \le 1[/math] [math]Corr^2(\eta,\xi) \le 1[/math] [math]-1 \le Corr(\eta,\xi) \le 1[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если [math] Corr(\eta, \xi) = \pm 1 [/math], то [math]\eta[/math] и [math]\xi[/math] линейно зависимы

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства будем использовать доказательство свойства ковариации. Так как [math] Corr(\eta, \xi) = \pm 1 [/math], т.е. [math]Cov^2(\eta,\xi) = \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2[/math] Получаем, что в неравенстве [math]\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge 0[/math] должно выполняться равенство, что возможно только при нулевом дискриминанте. То есть будет единственный корень [math] t_0 [/math]. Из этого следует, что [math] E((\xi-E\xi +t_0 \eta - t_0 E\eta))=E((V + t_0 W)^2) = 0 [/math] Это возможно только тогда, когда [math] \xi-E\xi +t_0 \eta - t_0 E\eta = 0[/math]; Видим, что [math]\eta[/math] и [math]\xi[/math] линейно зависимы.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если [math]\eta[/math] и [math]\xi[/math] линейно зависимы, то [math]Corr(\eta, \xi)= \pm 1 [/math].

[math]\triangleright[/math]

Предположим, что [math]\xi = k \eta + b[/math]. Тогда мы имеем [math]E\xi=kE\eta + b[/math] [math] Cov(\eta, \xi) = E((\eta - E\eta)(\xi - E\xi))=kE((\eta-E\eta)^2)=k\sigma_\eta ^2 [/math]. По свойству дисперсии [math] \sigma_\xi ^2 = D[\xi] = E((\xi-E\xi)^2)= k^2 E((\eta-E\eta)^2)= k^2 \sigma_\eta ^2 [/math] Получаем, что [math]Corr(\eta, \xi)= {Cov(\eta, \xi)\over \sigma_\eta \sigma_\xi}={k\over |k|}[/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если [math]\eta,\xi[/math] независимые случайные величины, то [math]Corr(\eta,\xi) = 0[/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\eta[/math] и [math]\xi[/math] - независимые величины. Тогда [math]E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)[/math], где [math]E[/math] - их математическое ожидание. Получаем: [math]Corr(\eta, \xi) = {E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0[/math] Но обратное неверно: Пусть [math]\eta[/math] - случайная величина, распределенная симметрично около 0, а [math]\xi=\eta^2[/math]. [math]Corr(\eta,\xi)=0[/math], но [math]\eta[/math] и [math]\xi[/math] - зависимые величины.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

В общем смысле корреляция - это зависимость между случайными величинами, когда изменение одной влечет изменение распределения другой.

Определение корреляции по диаграмме

3 диаграммы рассеивания двух случайных величин X и Y

1. Соответственно, на первом графике изображена положительная корреляция, когда увеличение Y ведет к постепенному увеличению X.

2. Второй график отображает отрицательную корреляцию, когда увеличение X воздействует на постепенное уменьшение Y.

3. Третий график показывает, что X и Y связаны слабо, их распределение не зависит от изменения друг друга, поэтому корреляция между ними будет равна 0.

Определение корреляции по таблице

Рассмотрим 2 случайные величины: курс акций нефтедобывающей компании (X) и цены на нефть (Y).

X	2003,6	2013,2	2007,6	2007,4	2039,9	2025	2007	2017	2015,6	2011
Y	108,4	107,96	108,88	110,44	110,2	108,97	109,15	108,8	111,2	110,23

Для упрощения вычислений определим X и Y как равновероятные случайные величины. Тогда их математическое ожидание и дисперсию легко посчитать:

[math]E(X) = 2014,73[/math]

[math]E(Y) = 109,42[/math]

[math]D(X) = 104,9361[/math]

[math]D(Y) = 0,959661[/math]

Используя формулу, [math]Corr(\eta,\xi)={E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}[/math] определяем, что корреляция между величинами X и Y составляет 0,240935496, т.е. 24%.

Ссылки

• Википедия — Корреляция
• Wikipedia — Correlation and dependence
• INTUIT.ru — Курс: Прикладная статистика