Пусть дана скрытая Марковская модель [math]\lambda = \{\bold{S}, \bold{\Sigma}, \bold{\Pi}, \bold{A}, \bold{B}\}[/math], где [math]\bold{S} = \{s_1, ..., s_n\}[/math] -- состояния, [math]\bold{\Sigma} = \{\omega_1, ..., \omega_m\}[/math] -- возможные события, [math]\bold{\Pi} = \{\pi_1, ..., \pi_n\}[/math] -- начальные вероятности, [math]\bold{A} = \{a_{ij}\}[/math] -- матрица переходов, а [math]\bold{B} = \{b_{i\omega_k}\}[/math] -- вероятность наблюдения события [math]\omega_k[/math] после перехода в состояние [math]s_i[/math].
За [math]T[/math] шагов в этой модели получилась последовательность наблюдений [math]O_{1,T} = {o_1, ..., o_T}[/math].
Алгоритм "вперед-назад" позволяет найти в скрытой Марковской модели вероятность попадания в состояние [math]s_i[/math] на [math]t[/math]-ом шаге при последовательности наблюдений [math]O[/math] и (скрытой) последовательности состояний [math]X[/math].
Пусть в момент [math]t[/math] мы оказались в состоянии [math]i[/math]: [math]X_t = i[/math]. Назовем [math]\alpha_{i}(t)[/math] вероятность того, что при этом во время переходов образовалась последовательность наблюдений [math]O_{1,t-1}[/math], а [math]\beta_{i}(t)[/math] — вероятность того, что после этого состояния мы будем наблюдать последовательность наблюдений [math]O_{t,T}[/math]:
[math]\alpha_{i}(t) \overset{def}{=} P(O_{1, t-1} | X_t = i) \\
\beta_i(t) \overset{def}{=} P(O_{t,T} | X_t = i)[/math]
Нам требуется найти [math]P(X_t = i | O) = P(X_t = i | O_{1,t-1} \cap O_{t,T})[/math]. Поскольку будущее Марковской цепи не зависит от прошлого, мы можем утверждать, что вероятность того, что мы будем наблюдать события [math]O_{t,T}[/math] не зависит от того, что в прошлом мы наблюдали последовательность [math]O_{1,t-1}[/math], и, следовательно:
[math]P(X_t = i | O_{1,t-1} \cap O_{t,T}) = \frac{P(X_t = i | O_{1,t-1}) \cdot P(X_t = i | O_{t,T})}{P(O)} = \frac{\alpha_{i}(t) \cdot \beta_{i}(t)}{P(O)}[/math]
Проход вперед
Заметим, что в [math]\{\alpha_s(1)\}[/math] нужно считать равной [math]\pi_s[/math], так как на первом шаге распределение по определению будет равно начальному.
Для следующих [math]t[/math] можно вычислить [math]\alpha_s(t)[/math] рекуррентно:
[math]\alpha_{s}(t) = P(O_{1, t} | X_t = s_i) = \\
= \displaystyle\sum\limits_{j \in S} P(O_{1, t} | X_t = s \cap X_{t-1} = j) = \\
= \displaystyle\sum\limits_{j \in S} P(O_{1, t-1} | X_{t-1} = j) \cdot P(X_t = s | X_{t-1} = j) \cdot P(O_t = o_t | X_t = s) = \\
= \displaystyle\sum\limits_{j \in S} \alpha_{j}(t-1) \cdot a_{js} \cdot b_{so_t} = \\
= b_{so_t} \cdot \displaystyle\sum\limits_{j \in S} \alpha_{j}(t-1) \cdot a_{js}[/math]
Итак, вероятность попасть в состояние [math]s[/math] на [math]t[/math]-ом шаге, учитывая, что после перехода произойдет событие [math]o_t[/math] будет равна вероятности быть в состоянии [math]j[/math] на [math]t[/math]-ом шаге, умноженной на вероятность перейти из состояния [math]j[/math] в [math]s[/math], произведя событие [math]o_t[/math] для всех [math]j \in S[/math].
Проход назад
Аналогично, [math]\beta_s(T+1) = 1[/math], так как произвольная цепочка наблюдений будет произведена, какими бы ни были состояния.
Предыдущие [math]\beta_s(t)[/math] считаются рекуррентно:
[math]\beta_s(t) = P(O_{t, T} | X_t = s) = \\
= \displaystyle\sum\limits_{j \in S} P(O_{t+1,T} | X_{t+1} = j) \cdot P(X_{t+1} = j | X_t = s) \cdot P(o_t | X_t = s) = \\
= \displaystyle\sum\limits_{j \in S} \beta_j(t+1) \cdot a_{sj} \cdot b_{jo_t}[/math]
Сглаживание вероятности
Итак, для произвольного состояния [math]s[/math] в произвольный шаг [math]t[/math] теперь известна вероятность того, что на пути к нему была произведена последовательность [math]O_{1,t}[/math] и вероятность того, что после него будет произведена последовательность [math]O_{t+1,T}[/math]. Чтобы найти вероятность того, что будет произведена цепочка событий, найти [math]P(O)[/math], нужно просуммировать произведение обеих вероятностей для всех состояний при произвольном шаге t: [math]P(O) = \sum_{s \in S} \alpha_s(t)\beta_s(t)[/math].
Теперь найдем вероятность того, что в момент [math]t[/math] цепь будет в состоянии [math]s[/math]:
[math]P(X_t = s | O_{1,t-1} \cap O_{t,T}) = \frac{P(X_t = s | O_{1,t-1}) \cdot P(X_t = s | O_{t,T})}{P(O)} = \frac{\alpha_{s}(t) \cdot \beta_{s}(t)}{P(O)} = \\
= \frac{\alpha_s(t)\cdot \beta_s(t)}{\sum_{i \in S}\alpha_s(t)\cdot \beta_s(t)}[/math]
