О нелинейных операторных уравнениях
Ранее мы рассматривали уравнения вида , где дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать .
Сложнее, когда задано уравнение вида или , где — произвольный оператор из в .
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.
Простые итерации
Решаем уравнение . Составляем последовательность и изучаем сходимость последовательности .
Если — непрерывный оператор, то и, по единственности предела, получаем .
Во втором семестре у нас было определение производной Фреше: . — линейный ограниченный оператор.
| Теорема (Локальная теорема о простой итерации): |
Пусть известно, что существует и .
Тогда существует такой шар , что если , то:
|
| Доказательство: |
|
Положим . В силу определения производной Фреше существует . Убедимся в том, что такая подходит в качестве радуса шара из условия теоремы: Предположим, что .
. Рассмотрим первое слагаемое: , а значит, . Второе слагаемое: Складывая полученное: . Окончательно мы получили, что , то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что , то есть . |
Метод Ньютона-Канторовича
Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида — непрерывный оператор из в , — нормированное пространство.
Предположим, что . Получим схему метода Ньютона-Канторовича.
— начальное приближение.
. Обрежем последнюю часть: .
Обозначим .
Домножим равенство с обеих сторон на : .
.
Теперь положим и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции
Покажем, что , то есть из условия локальной теоремы о простой итерации.
| Утверждение: |
|
Запишем через значение :
, откуда . Подставим это равенство в выражение выше:
. Итого: , откуда |
Теорема Шаудера
Рассмотрим другую идею решения . Оно основывается на том факте, что если функция отображает отрезок в себяЯ, то существует такая точка .
Обобщение этого факта для называется теоремой Брауэра:
| Теорема (Брауэр, о неподвижной точке): |
Пусть — ограниченное выпуклое замкнутое подмножество , непрерывно отображает в себя. Тогда . |
Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:
| Определение: |
| Пусть — B-пространство, — ограничено в . — непрерывное отображение в себя. Говорят, что вполне непрерывно на , если — относительно компактно в . |
| Теорема (Шаудер, о неподвижной точке): |
Пусть — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства и вполне непрерывно отображает в себя.
Тогда . |
Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэера. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.
Вспомогательные факты
| Утверждение (Факт Первый): |
Рассмотрим — последовательность вполне непрерывных операторов на , ().
Тогда вполне непрерывен на . |
|
по равномерной сходимости, . По предположению, — вполне непрерывный: существует конечная -сеть для . . Рассмотрим и подберем такое , что . . Первое слагаемое по выбору и равномерной сходимости. Второе слагаемое по выбору из -сети. Окончательно, . Значит, мы получили -сеть для . |
| Утверждение (Факт Второй): |
Рассмотрим — последовательность вполне непрерывных операторов на , .
Тогда множество относительно компактно. |
|
По равномерной сходимости, . Рассмотрим множество . Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств. рассмотрим -сеть для этого множества: . Рассмотрим . Проверим, что — -сеть для этого множества, где число определим позже. Возьмем произвольный . Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами . Пусть, для начала, . Если , то . Пусть .
. Первые два слагаемых по равномерной сходимости, третье по выбору -сети для . Аналогичную оценку получаем, если . В итоге, получили, что — -сеть для . |
