Сопряжённый оператор

Эта статья находится в разработке!

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

Определение:

[math] E^* [/math] — множество линейных непрерывных функционалов над [math] E [/math], его называют пространством, сопряженным к [math] E [/math]. Аналогично, [math] E^{**} [/math] — пространство, сопряженное к [math] E^* [/math].

Естественное вложение

Утверждение:

Между [math] E [/math] и [math] E^{**} [/math] существует так называемый естественный изоморфизм, сохраняющий норму точки.

[math]\triangleright[/math]

Введем [math] F_x [/math] следующим образом: [math]\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} [/math]. [math] F_x : E^{*} \to \mathbb{R} [/math] — функционал, заданный на [math]E^{*}[/math], то есть [math] F_x \in E^{**} [/math]. Тогда само [math] F [/math] отображает [math] E [/math] в [math] E^{**} [/math]. [math] F [/math] линейно: [math] F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} [/math]. [math] | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| [/math], откуда [math] \| F_x \| \le \| x \| [/math]. С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого [math] x_0 \in E [/math] существует [math] f_0 \in E^* [/math], такое, что выполняются два условия: [math] f_0(x_0) = \| x_0 \| [/math] [math] \| f_0 \| = 1 [/math]. [math] | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 [/math], потому получаем, что [math] \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| [/math]. Значит, получившееся преобразование [math] x \mapsto F_x [/math] — изометрия, [math] \| x \| = \| F_x \| [/math], получили естественное вложение [math] E [/math] в [math] E^{**} [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math] E [/math] называется рефлексивным, если [math] E [/math] будет совпадать с [math] E^{**} [/math] при таком отображении.

Например, гильбертово пространство [math] H [/math] рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

[math] C[0, 1] [/math] не является рефлексивным.

Сопряженный оператор

Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].

Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].

Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].

[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math] — сопряженный оператор к [math] A [/math].

Теорема:

Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math] x \in E, \varphi \in F^* [/math]. [math] | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| [/math]. Получили, что [math] \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| [/math], откуда [math] \| A^* \| \le \| A \| [/math]. Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха: По определению нормы: [math] \forall \varepsilon \gt 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon \lt \| Ax \| [/math]. [math] Ax \in F [/math], по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем [math] \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| [/math]. [math] \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| \gt \| A \| - \varepsilon [/math]. [math] \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| [/math]. Соединяя эти два неравенства, получаем, что [math] \forall \varepsilon \gt 0: \| A^* \| \gt \| A \| - \varepsilon [/math]. Устремляя [math] \varepsilon [/math] к нулю, получаем, что [math] \| A^* \| \ge \| A \| [/math], и, окончательно, [math] \| A^* \| = \| A \| [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры сопряженных операторов

Возьмем любое гильбертово пространство [math] H [/math], [math] A : H \to H [/math].

[math] \forall \varphi \in H^* [/math] по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в [math] H [/math] существует единственный [math] z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| [/math].

Поскольку [math] x \mapsto \varphi (Ax) [/math] также является линейным функционалом [math] H \to H [/math], то [math] \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle [/math], где [math] y [/math] не зависит от [math] x [/math].

Имеем отображение [math] z \mapsto y [/math], тогда [math] y = A^*(z) [/math], и окончательно:

[math] \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle [/math].

В гильбертовом пространстве [math] H [/math] сопряженный оператор — тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

Определение:

Оператор [math] A [/math] в гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если [math] A = A^* [/math]

В случае [math] \mathbb{R}^n [/math] (частный случай [math] H [/math]) оператор [math] A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n [/math] представляет собой матрицу размером [math] n \times n [/math]. Сопряженный к [math] A [/math] оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: [math] A^* = A^T [/math]. Для симметричной матрицы [math] A [/math] получается [math] A^* = A^T = A [/math], то есть, если [math] A [/math] — симметричная матрица, то [math] A [/math] — самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство [math] E = L_p [0, 1] [/math].

Пусть [math] K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} [/math] — непрерывная функция на [math] [0, 1] \times [0, 1] [/math], [math] x \in E [/math].

Интегральный оператор [math] A [/math], действующий из [math] L_p [0, 1] [/math] в [math] L_p [0, 1] [/math] определяется так: [math] A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt [/math]. [math] Ax \in E [/math].

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в [math] L_p [/math] TODO: Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.,

[math] \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q [/math], где [math] \frac 1p + \frac 1q = 1 [/math] ([math] p [/math] и [math] q [/math] называются сопряженными показателями).

[math] L_p^* = L_q [/math].

[math] A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = [/math] (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) [math] = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt [/math]

Получили, что [math] A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt [/math]. Обозначим [math] z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds [/math], тогда [math] A^* (\varphi) \equiv z [/math], аналогично [math] \varphi \equiv y [/math].

[math] A^* [/math] — интегральный оператор из [math] L_q [/math], имеющий ядро [math] K^*(s, t) = K(t, s) [/math]. В частности, если ядро симметрично ([math] K(s, t) = K(t, s) [/math]) и [math] k = 2 [/math], то [math] A = A^* [/math].

Ортогональное дополнение

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

Определение:

Пусть [math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math]. [math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math] — ортогональное дополнение [math] S [/math]. Аналогично, если [math] T \subset E [/math], то [math] T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math].

Утверждение:

[math] \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} [/math].

[math]\triangleright[/math]

Оба включения [math] \subset [/math] очевидны по определению. В обратную сторону: Пусть [math] x \in (E^*)^{\bot} [/math], тогда [math] \forall f \in E^*: f(x) = 0 [/math]. Предположим, что [math] x \neq 0 [/math], тогда по следствию из теоремы Хана-Банаха, для такого [math]x[/math], найдется функционал [math]f: f(x) = \| x \| \neq 0 [/math], получили противоречие, что [math] x \in (E^*)^{\bot} [/math]. Пусть [math] f \in E^\bot [/math], тогда [math] \forall x \in E: f(x) = 0[/math]. Тогда [math]f[/math] — нулевой функционал по определению.

[math]\triangleleft[/math]

Теоремы о множестве значений оператора

Теорема 1

Теорема:

[math] A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Longrightarrow[/math]: [math]\varphi \in \operatorname{Ker}A^*[/math], [math]A^* \varphi = 0[/math]. [math]\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0[/math] Пусть [math]y \in R(A) [/math], тогда [math] y = Ax [/math]. [math] \varphi (y) = \varphi(A x) = 0 [/math], следовательно, [math] R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp[/math]. Теперь, пусть [math]y \in \operatorname{Cl} R(A)[/math], тогда [math] y = \lim y_n, y_n \in R(A)[/math]. [math]\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0[/math], и [math]\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp[/math] [math]\Longleftarrow[/math]: Надо показать, что [math]y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)[/math]. Пусть это не так: [math] y \notin \operatorname{Cl} R(A)[/math]. Рассмотрим [math] F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} [/math]. [math]F_1[/math] — линейное множество в силу линейности [math]\operatorname{Cl}(R(A))[/math]. Покажем, что [math]F_1[/math] -- подпространство [math]F[/math]. Проверим сначала замкнутость [math]F_1[/math]: Пусть [math]z_n+t_{n}y \to u = z + ty[/math], хотим убедиться в том, что [math]u \in \operatorname{Cl} R(F_1)[/math]. Если [math] |t_{n}| \le const [/math], то выберем [math]t_{n_k}[/math], стремящееся к какому-то [math]t[/math]. Из [math]z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty [/math] получаем [math] z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))[/math]. Если допустить, что [math]t_{n_k} \to \infty[/math]: [math]z_{n_k}+t_{n_k}y \to u[/math]. [math]z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))[/math] — противоречие. Таким образом, [math]\operatorname{Cl}(F_1) = F_1[/math]. Построим на [math]F_1[/math] фунционал [math]\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t [/math], [math] \varphi_0(z) = 0[/math]. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на [math]F: \widetilde{\varphi} \in F^*[/math], причем так, что [math]\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0[/math]. Рассмотрим значение [math]\widetilde{\varphi_0}(y)[/math]: С одной стороны, [math]\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1[/math] С другой стороны, [math]y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp[/math], а значит, на любом функционале из ядра [math]A^*[/math], в том числе, и на [math]\widetilde{\varphi_0}[/math], должно выполняться [math]\widetilde{\varphi_0}(y) = 0[/math] Получили противоречие, следовательно, [math] y \in \operatorname{Cl}(R(A))[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема 2

Теорема:

[math] A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math]f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*[/math]. Рассмотрим [math] x \in (\operatorname{Ker}A). [/math] [math]f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp[/math]. 2) Докажем теперь обратное включение: Рассмотрим [math]f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp[/math], если [math]Ax=0[/math], то [math]f(x)=0[/math]. Надо показать, что [math]f \in R(A^*)[/math], т.е. проверить, что [math]f = \varphi A^*[/math]. Если найдем [math]\varphi[/math], заданный на [math]R(A)[/math] (которое замкнуто TODO: где здесь нужна замкнутость?), то сможем продолжить его на все [math]F[/math] по теореме Хана-Банаха. Рассмотрим произвольное [math]y \in R(A)[/math], пусть [math]y = Ax[/math] и [math]y = Ax'[/math]. Тогда [math]A(x - x') = 0[/math], то есть [math]x - x' \in \operatorname{Ker} A[/math], [math]f(x - x') = 0[/math], и [math]f(x) = f(x')[/math], то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно [math]x[/math] (при [math]Ax = y[/math]) был выбран. Тогда можно взять [math]\varphi(y) = f(x)[/math], где [math]y = Ax[/math] — линейный функционал, [math]f = \varphi A[/math]. Осталось проверить ограниченность [math]\varphi[/math] на [math]R(A)[/math]. Рассмотрим [math]E/_{\operatorname{Ker} A}[/math], [math]\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F[/math], [math]\widetilde{A}([x]) = Ax[/math]. [math]\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)[/math] — биекция, [math]R(A)[/math] — замкнуто, [math]F[/math] — банахово, поэтому [math]R(A)[/math] — также банахово как подпространство в [math]F[/math]. Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор [math]\widetilde{A}^{-1}[/math], [math]\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|[/math] TODO: а последнее неравенство зачем?. Если [math]\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x][/math], то [math]\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|[/math]. [math]\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}[/math] [math]\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| \lt 2m \|y\| [/math], следовательно, существует [math] x' = A^{-1}y, \|x'\| \lt 2m\|y\|[/math]. [math] \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| \lt (2m\|f\|)\|y\| [/math], то есть, получили ограниченность [math] \varphi [/math], теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение [math]Ax = y[/math], где [math]y[/math] — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что [math]y \in R(A)[/math]. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой [math]R(A) = \operatorname{Cl} R(A)[/math], и тогда [math]R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot[/math], сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: [math]y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*[/math].

Например, [math]A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n[/math], [math]A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/math]. [math]R(A) = \operatorname{Cl} R(A)[/math], [math]Ax = y[/math], [math]y[/math] — дано. Надо смотреть [math]y \perp \operatorname{Ker} A^*[/math], то есть [math]A^\top y = 0[/math].

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых [math]R(A)[/math] — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.