Материал из Викиконспекты
основные теоремы и определения
определения
| Определение: |
Пусть [math]A:X \to X[/math] - линейный оператор (ЛО)
[math]x\ne 0_X[/math] называется собственным вектором[math]A[/math], если [math]x \in L[/math], где [math]L[/math] - инвариантное подпространство [math]A[/math], b [math]dimL = 1[/math] |
| Определение: |
Пусть [math]A:X \to X[/math]
[math]x\ne 0_X[/math] называется собственным вектором[math]A[/math], если существует [math]\lambda \in F : Ax = \lambda x[/math] |
| Лемма: |
Предыдущие 2 определения эквивалентны |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] (1) \Rightarrow (2) : x \in L, dim(L)=1 \Rightarrow Ax \in L (x \ne 0_x \Rightarrow basis L = \{x\}), then Ax =! \lambda x[/math]
[math] (1) \Leftarrow (2) : \exists \lambda: Ax=\lambda x \Rightarrow x \in[/math] одном.(одномерному) п.п.
[math]L =\{x\}, Ax = \lambda x \in L[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| [math]\lambda[/math] в равенстве [math]Ax = \lambda x[/math] называется собственным числом(собственным значением) ЛО [math]A[/math] |
| Определение: |
Спектром [math]\sigma[/math] ЛО называется множество всех его собственных значений
[math]\sigma (A) = \sigma _A = \{ \lambda _i \}[/math] |
// здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно
свойства
| Теорема: |
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям образуют ЛНЗ набор |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
1)база: рассмотрим [math]\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x \{x1\} - ЛНЗ[/math]
2) [math]\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}[/math] - ЛНЗ. Рассмотрим [math]\{x1, ..., x_m \} [/math]- доказать что ЛНЗ.
[math]\sum\limits_{k=1}^m \alpha^i x_i = 0 [/math]
[math]A( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x[/math] (1)
[math]\lambda_m( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x[/math] (2)
(1) - (2) : [math]\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_m-1(\lambda_m-1 - \lambda_m)x_m-1 + 0_x = 0_x[/math]
по предположению индукции [math]\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}[/math] - ЛНЗ [math]\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 [/math], при этом все [math](\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0[/math]
[math]\Rightarrow [/math] все [math]\alpha_i = 0[/math]
[math]\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x [/math], где [math]x_m \ne 0[/math] те набор ЛНЗ |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма: |
множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора [math]A[/math], образует подпространство пространства [math]X[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
как утверждается, несложное упражнение. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| пусть [math]L = \{[/math] все СВ [math] x_i \leftrightarrow \lambda_i \}[/math] называют собственным подпространством [math]\leftrightarrow[/math] СЗ [math]\lambda_i[/math] |
| Лемма: |
пусть L - лин оболочка [math]\{ [/math] всех [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i\}[/math]
пусть [math]X_{\lambda i}[/math] - собственное подпространство X [math]\leftrightarrow \lambda_i[/math]
тогда [math]L = X_{\lambda i}[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
сначала [math]\subseteq[/math] потом [math]\supseteq[/math] [math]\Rightarrow[/math] доказательство |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма ((следствие из теоремы)): |
у ЛО не может быть больше [math]n[/math] СЗ, где [math]n = dimX[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
как утверждается, несложное упражнение. |
| [math]\triangleleft[/math] |
поиск СЗ и СВ
[math]x \ne 0_x[/math] и
[math]Ax = \lambda x \Leftrightarrow Ax - \lambda I x = 0 \Leftrightarrow (A - \lambda I)X = 0 [/math]
[math]{C}= \begin{pmatrix}
({\alpha}_{11}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{11} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{1n} \xi^n \\
{\alpha}_{21} \xi^1 & ({\alpha}_{22}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{2n} \xi^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\alpha}_{n1} \xi^1 & {\alpha}_{n2} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{nn}- \lambda) \xi^n \\
\end{pmatrix}[/math]
если [math]det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow exists! [/math] тривиальное решение [math](0,0 ... ,0)^T[/math]
если [math]det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow exists [/math] нетривиальное решение [math]\Rightarrow exists[/math] СВ [math]x[/math]
[math]\chi_A (\lambda) = 0 [/math] - характеристический полином
[math]det(A- \lambda E) = 0[/math] - уравнение на СЗ, а
[math]det(A- \lambda E)X = 0[/math] - уравнение на СВ
из уравнения на СЗ находим [math]\{\lambda_i \}[/math] - корпни характеристического полинома, они же - характеристические числа
затем подставляем каждую [math]\lambda_i[/math] в уравнение на СВ по очереди на находим СВ [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i[/math]
так найдутся все СВ.
| Теорема: |
пусть [math] A : X \to X, X[/math] над С, тогда у [math]A[/math] есть хотя бы одно СЗ и один СВ. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
одна из теорем высшей алгебры гласит, что у [math]\forall[/math] полинома комплексной переменной всегда есть корень.
пример:
|
| [math]\triangleleft[/math] |
