Квадратичные формы

Основные определения

[math]\mathbb{R}[/math]. Пусть [math]\Phi(x,y)[/math] - симметричная билинейная форма, т.е. [math]\Phi(x,y) = \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\xi^k\eta^k[/math] (1), причем: [math]\Phi=||\varphi||:\varphi_{ik}=\varphi_{ki}[/math] (т.е. [math]\Phi=\Phi^T[/math], т.е. симметрична)

[math]\mathbb{C}[/math]. Пусть [math]\Phi(x,y)[/math] - эрмитова форма, т.е. [math]\Phi(x,y) = \displaystyle \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik}\xi^i\eta^k[/math] (2), где [math]\Phi=||\varphi_{ik}||:\varphi_{ik}=\overline{\varphi_{ki}}[/math] (т.е. [math]\Phi=\overline{\Phi^T}=\Phi^*[/math], т.е. эрмитова)

Определение:

Квадратичной формой называется [math]\Phi(x,x)[/math], полученная взятием [math]y=x[/math]

Пример.

[math]\mathbb{E}=\mathbb{R}^3[/math]

[math]\Phi(x,x) = 2(\xi^1)^2+4\xi^1\xi^2-(\xi^3)^2[/math]

[math]\Phi=||||[/math]

Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.

С. [math]\{e_i\}^n \rightarrow \{e_k\}_{k=1}^n[/math]

[math]\varphi_{ik}=\Phi(e_i,e_k)[/math]

[math]\widehat{\varphi_{ik}}=\Phi(\widehat{e_i},\widehat{e_k}) = \Phi(\tau_i^se_s,\tau_k^te_k) = \tau_i^s\overline{\tau_k^t}\Phi(e_s,e_k)=\tau_s^i\varphi_{sk}\overline{\tau_k^t}[/math]

[math]\widehat{\Phi} = T^T \cdot \Phi \cdot \overline{T}[/math] (для [math]\mathbb{C}[/math]) (*)

[math]\Phi = T^T \cdot \Phi \cdot T[/math] (для [math]\mathbb{R}[/math]) (**)

Приведение к каноническому виду методом Лагранжа

Определение:

[math]\mathbb{R}[/math]: [math]\Phi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i(\xi^i)^2[/math] (3) [math]\mathbb{C}[/math]: [math]\Phi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i|\xi^i|^2[/math] (4)

Пример.

[math]\Phi(x,x)=4x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2 = (2x_1+x_2)^2+4x_2^2[/math]

[math]\widehat{x_1} = 2x_1+x_2[/math]

[math]\widehat{x_2}=x_2[/math]

[math]\widehat{\Phi}(x,x)=\widehat{x_1^2}+4\widehat{x_2^2}[/math]

Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием

Рассмотрим (*) [math]\Phi = T^T\cdot \Phi \cdot \overline{T}[/math]

Рассмотрим [math]\Phi = \Phi^* = \overline{\Phi^T} в \{e_1, e_2, ..., e_n\}[/math]

1) [math]\sigma_{\Phi} \in \mathcal{R}\lt tex\gt 2) из собственных вектором \lt tex\gt \Phi[/math] можно сделать ортонормированный базис [math]\mathcal{E}[/math]

Пусть [math]T[/math] - унитарная [math]T^{-1} = \overline{T^T} =\gt T^T = \overline{T^{-1}} = (\overline{T})^{-1}[/math]

[math]\widehat{\Phi} = (\overline{T})^{-1} \cdot \Phi \cdot T[/math]

Спектральный анализ \Phi

1) [math]\sigma_{\Phi} = \{\lambda_1, ..., \lambda_n} \subset \mathcal{R}[/math]

2) Ортонормированный базис из собственных векторов [math]\{e_1,...,e_n\}[/math]

[math]U = (e_1,...,e_n)[/math]

[math]\overline{T} = U[/math]

[math]\widehat{\Phi} = U^{-1} \cdot \Phi[/math]