Метод Лупанова синтеза схем

Теорема:

Любая булева функция от [math]n[/math] аргументов [math]f(x_1, x_2, ..., x_n)[/math] в базисе [math]B = \{\neg, \lor, \land\}[/math] имеет схемную сложность [math]size_B (f) = O\left(\frac{2^n}{n}\right)[/math].

Представление функции

Рис. 1. Описываемая таблица истинности, разделённая на полосы

Поделим аргументы функции на два блока: первые [math]k[/math] и оставшиеся [math](n - k)[/math].

Для удобства дальнейших рассуждений представим булеву функцию в виде таблицы, изображённой на рис. 1. Строки индексируются значениями первых [math]k[/math] переменных, столбцы — значениями оставшихся [math](n - k)[/math]; таким образом, на пересечении столбца и строки находится значение функции для соответствующего набора аргументов.

Разделение на полосы

Разделим таблицу на горизонтальные полосы шириной [math]s[/math] (последняя полоса, возможно, будет короче остальных; её ширину обозначим [math]s'[/math]). Пронумеруем полосы сверху вниз от 1 до [math]p=\left\lceil\frac{2^k}{s}\right\rceil[/math].

Рассмотрим независимо некоторую полосу. Заметим, что среди её столбцов при небольшом [math]s[/math] будет много повторений; введем понятие сорта столбца.

Определение:

Сорт некоторого столбца данной полосы — его класс эквивалентности по отношению поэлементного равенства столбцов данной полосы.

Число сортов столбцов [math]i[/math]-й полосы обозначим как [math]t(i)[/math]. Понятно, что для любой полосы [math]t(i) \leq 2^s[/math] (для последней [math]t(p) \leq 2^{s'}[/math]).

Функция для одной полосы

Рис. 2. Значения, возвращаемые функцией [math]g_{ij}[/math]

Пусть для некоторого [math]i[/math]

• [math]\beta_{j}[/math] — произвольный столбец [math]i[/math]-й полосы [math]j[/math]-го сорта (точное положение столбца далее не будет иметь значения, по определению сорта)
• [math](\sigma_1^l, \sigma_2^l, ..., \sigma_k^l)[/math] — аргументы функции, соответствующие [math]l[/math]-й строке [math]i[/math]-й полосы.

Тогда введём булеву функцию

[math]g_{ij}(x_1, x_2, ..., x_k) = \begin{cases} \beta_{jl}& , \mbox{if } \exists l \in [1; s]~(x_1, x_2, ..., x_k) = (\sigma_1^l, \sigma_2^l, ..., \sigma_k^l) \\ 0&, \mbox{otherwise} \end{cases}[/math]

Другими словами, если строка, соответствующая аргументам функции [math]x_1, x_2, ..., x_k[/math], находится в [math]i[/math]-й полосе, то функция возвращает значение, записанное в столбце сорта [math]j[/math] для этой строки. Если же эта строка находится в другой полосе, то функция вернёт 0. Иллюстрация принципа работы функции [math]g_{ij}[/math] приведена на рис. 2.

Вывод исходной функции для фиксированной части параметров

Поскольку изначальный столбец [math](\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})[/math] складывается из столбцов соответствующих сортов в полосах, [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n}) = \bigvee\limits_{i = 1}^p g_{ij_i}(x_1, x_2, ..., x_k)[/math], где [math]j_i[/math] — номер сорта столбца полосы [math]i[/math], являющегося соответствующей частью столбца [math](\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})[/math].

Мультиплексор и дешифратор

Для упрощения доказательства теоремы будем использовать элементы мультиплексор и дешифратор.

Определение:

Мультиплексор (англ. multiplexer) — логический элемент, получающий на вход [math]2^n[/math] булевых значений; [math]n[/math]-значное число [math]x[/math] в двоичном представлении и возвращающий значение на [math]x[/math]-м входе.

Определение:

Дешифратор (или демультиплексор, англ. demultiplexer) — логический элемент, получающий на вход булево значение [math]z[/math]; [math]n[/math]-значное число [math]x[/math] в двоичном представлении и выводящий [math]z[/math] на [math]x[/math]-й из своих [math]2^n[/math] выходов. На все остальные выходы элемент выдаёт 0.

Мультиплексор слева, дешифратор справа

Оба элемента представимы схемами с числом элементов [math]O(2^n)[/math] с помощью базиса [math]B[/math]. Доказательство этого факта у читателя будет возможность рассказать на практике.

Доказательство

В качестве доказательства ниже будет предложен вариант такой схемы для произвольной функции [math]f(x_1, x_2, ..., x_n)[/math] (представление Лупанова, англ. Lupanov [math](k, s)[/math]-representation).

Для удобства поделим схему на блоки:

• Блок A — дешифратор, которому на вход подали 1 и [math](x_1, x_2, ..., x_k)[/math] в качестве двоичного представления числа.
• Блок B — схемная реализация всех [math]g_{ij}[/math]. Функцию [math]g_{ij}[/math] можно реализовать как [math]\bigvee\limits_{\beta_l = 1} y_{il}[/math], где [math]y_{il}[/math] — выдал ли дешифратор "1" на [math]l[/math]-м выходе [math]i[/math]-й полосы.
• Блок C — схемная реализация всех [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)[/math]. (здесь [math]\sigma_i[/math] - фиксированные параметры, см. п. 3.1)
• Блок D — мультиплексор, получающий на вход все [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)[/math] и параметры функции [math]x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n[/math] в качестве двоичного представления числа. Результат работы схемы — вывод мультиплексора.

Положим [math]s = [n - 2\log_2 n][/math]; [math]k = [\log_2 n][/math]. Тогда число элементов в блоках

• [math]L_A = O(2^k) = O(2^{\log_2 n}) = O(n)[/math]
• [math]L_B \leq (s - 1) \cdot (t(1) + t(2) + ... + t(p)) \lt sp \cdot 2^s = 2^{k + s} = \frac{2^n}{n}[/math]
• [math]L_C = O(p \cdot 2^{n - k}) = O\left(\frac{p}{n} \cdot 2^n\right) = O\left(\frac{2^n}{s}\right) = O\left(\frac{2^n}{n - 2\log_2 n}\right)[/math]
• [math]L_D = O(2^{n - k}) = O\left(\frac{2^n}{n}\right)[/math]

Итого, имеем схему c числом элементов [math]L_A + L_B + L_C + L_D = O(n) + O\left(\frac{2^n}{n}\right) + O\left(\frac{2^n}{n - 2\log_2 n}\right) + O\left(\frac{2^n}{n}\right) = O\left(\frac{2^n}{n}\right)[/math], откуда следует, что [math]size_B (f) = O\left(\frac{2^n}{n}\right)[/math], ч.т.д.

Ссылки

• Wikipedia — Multiplexer

Литература

• Яблонский С.В. Введение в дискретную математику — М.:"Наука", 1986 — стр. 361