Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре
Описание алгоритма
Алгоритм находит гамильтонов цикл в неориентированном графе , если выполняются условия теоремы Оре или выполнена теорема Дирака. Рассмотрим перестановку вершин , где . Если между каждой парой соседних вершин в перестановке существует ребро, то мы получили Гамильтонов цикл. В противном случае, начиная с пары , начнем последовательно рассматривать пары соседних вершин , пока .
- Если между ними есть ребро, то переходим к следующей паре вершин .
- Если же ребра нет, то найдем такую вершину
- Если то перевернем часть перестановки от до (включительно).
- Если обменяем в перестановке элементы на позициях и , где . Например, если , то и поменяются местами, а останется на месте.
(то, что она всегда существует, будет показано ниже), что , и существуют ребра и (Если , то за считаем ).
Псевдокод
for//перебираем все вершины перестановки if //если нет ребра между for //перебираем все остальные вершины if && //если есть ребра reverse_subsequence( ) //разворачиваем часть перестановки от i+1 позиции до j break //переходим к следующей итерации внешнего for |
Доказательство алгоритма
Заметим, что поскольку мы сделали нашу перестановку в виде зацикленного списка, то мы можем рассматривать перебор все пар соседних в перестановке вершин, как сдвиг указателя на начало списка. Тогда будем сдвигать указатель на нашу перестановку так, чтобы она начиналась с рассматриваемой пары
. Если теперь между первыми двумя вершинами есть ребро, то можем переходить к рассмотрению следующей пары, так как в этом случае мы ничего не делаем. Если же ребра нет, то докажем, что обязательно найдется вершина , такая что .Пусть теоремы Оре или теоремы Дирака, в зависимости от наших начальных условий. А значит , следовательно искомая вершина обязательно найдется. Поскольку каждый раз, когда у нас нет ребра между двумя обрабатываемыми вершинами, мы переворачиваем нашу последовательность так, чтобы после переворота и становились связанными ребром, то, рассмотрев все пары вершин в последовательности, мы добьемся того, что любые две соседние пары вершин будут связаны ребром, а это и значит что мы нашли цикл.
{ } и { } . Тогда , откуда . Но по условию