Моноид

Определение:

Пара [math]\langle G,\cdot \rangle[/math] называется моноидом, если она удовлетворяет следующим аксиомам: Операция [math] \cdot \colon G \times G \rightarrow G [/math] ассоциативна. Существует нейтральный элемент [math] \varepsilon \in G [/math] относительно бинарной операции такой, что [math] \forall x\in G : \varepsilon\cdot x=x \cdot \varepsilon = x[/math]. Иногда его обозначают [math] \varepsilon_G [/math], или [math]e_G [/math].

Другими словами, моноид — это полугруппа, в которую добавлен нейтральный элемент. Например, множество натуральных чисел с операцией сложения не является моноидом, а с операцией умножения является.

Утверждение (О единственности нейтрального элемента):

Нейтральный элемент в моноиде единственен.

[math]\triangleright[/math]

Действительно, пусть [math]\varepsilon_1[/math] и [math]\varepsilon_2[/math] — два нейтральных элемента. Тогда имеем: [math]\varepsilon_1 = \varepsilon_1\cdot \varepsilon_2 = \varepsilon_2[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Свободным моноидом (англ. free monoid) [math] M [/math] над множеством [math] S [/math] [math]([/math]обозначается как [math] M_S )[/math] называется моноид над множеством [math] S^* [/math] — набором всевозможных элементов, полученных конечным числом применений ассоциативной операции и операции сокращения нейтрального элемента к элементам множества [math]S[/math].

• тривиальный пример: множество [math] S = \{\varnothing\} [/math] и операция [math] \cup [/math]. Тогда [math] S^* = \{\varnothing\} [/math], что, очевидно, является моноидом с операцией [math]\cup[/math].
• [math] S = \{0, 1\} [/math], операция — сложение. Тогда [math]S^* = \mathbb{N}[/math], так как любое натуральное число является либо нулем, либо суммой конечного числа единиц
• контрпример: TODO

Дадим теперь более формальное определение.

Определение:

Свободным моноидом над множеством [math] S [/math] называется моноид [math] M [/math] вместе с отображением [math] i\colon S \rightarrow M [/math] при условии, что для любого моноида [math] N [/math] и для любых отображений [math] f \colon S \rightarrow N [/math] существует уникальный гомоморфизм моноидов [math] \overline{f} \colon M_S \rightarrow N [/math] такой, что [math] \overline{f} \circ i = f [/math].

Это наглядно показано следующей картинкой.

См. также

• Группа
• Изоморфизм групп

Ссылки

• Wikipedia — Free monoid
• nLab — Free Monoid
• Proof Wiki — Free monoid