Теорема о временной иерархии

Формулировка

Теорема о временной иерархии утверждает, что для любых двух конструируемых по времени функций [math]f\,\![/math] и [math]g\,\![/math] таких, что [math] \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0[/math], выполняется [math]DTIME(g(n)) \ne DTIME(f(n))[/math].

Доказательство

Зафиксируем [math]f\,\![/math] и [math]g\,\![/math].

Рассмотрим язык [math]L = \{ \lt m,x\gt \mid m(\lt m,x\gt )[/math] не допускает, работая не более [math] f(|\lt m,x\gt |)\,\![/math] времени [math]\}\,\![/math] .

Пусть [math]L \in DTIME(f)[/math], тогда для него есть машина Тьюринга [math]m_0\,\![/math] такая, что [math]L(m_0)=L\,\![/math].

Рассмотрим [math]m_0(\lt m_0,x\gt )\,\![/math].

Пусть [math]m_0\,\![/math] допускает [math]\lt m_0,x\gt \,\![/math]. Тогда [math]\lt m_0,x\gt \in L[/math], в силу определения [math]m_0\,\![/math]. Но в [math]L[/math] по определению не может быть пары [math]\lt m_0,x\gt \,\![/math], которую допускает [math]m_0\,\![/math], так как [math]m_0 \in DTIME(f)[/math]. Таким образом, получаем противоречие.

Если [math]m_0\,\![/math] не допускает [math]\lt m_0,x\gt \,\![/math], то [math]\lt m_0,x\gt \,\![/math] не принадлежит языку [math]L\,\![/math]. Это значит, что либо [math]m_0\,\![/math] допускает [math]\lt m_0,x\gt \,\![/math], либо не допускает, работая больше времени [math]f(|\lt m_0,x\gt |)\,\![/math]. Но [math]L \in DTIME(f)[/math], поэтому [math]m_0\,\![/math] на любом входе [math]x\,\![/math] работает не более [math]f(|x|)\,\![/math] времени. Получаем противоречие.

Следовательно такой машины не существует. Таким образом, [math]L \notin DTIME(f)[/math].

[math]L \in DTIME(g)[/math], так как можно просимулировать машину Тьюринга [math]m_1\,\![/math] такую, что [math]L(m_1)=L\,\![/math]. Для каждой пары [math]\lt m_2,x\gt \in L[/math] рассмотрим [math]m_2(\lt m_2,x\gt )\,\![/math]. Если [math]m_2\,\![/math] завершила работу и не допустила, то [math]m_1\,\![/math] допускает [math]\lt m_2,x\gt \,\![/math]. В другом случае не допускает. Так как любая такая машина работает не более [math]f(|\lt m_2,x\gt |)\,\![/math] времени, а [math] \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0[/math], [math]m_1\,\![/math] будет работать не более [math]g(|\lt m_2,x\gt |)\,\![/math] времени.

Получается, что [math]L \in DTIME(g(n)) \setminus DTIME(f(n))[/math] и [math]L \neq \empty[/math]. Следовательно, [math]DTIME(g(n)) \neq DTIME(f(n))[/math]

Теорема доказана.