Определение матроида

Аксиоматическое определение

Определение:

Матроид [math]\mathrm{(matroid)}[/math] — пара [math]\langle X,I \rangle[/math], где [math]X[/math] — конечное множество, называемое носителем матроида [math]\mathrm{\ (ground \ set)}[/math], а [math]I[/math] — некоторое множество подмножеств [math]X[/math], называемое семейством независимых множеств [math]\mathrm{\ (independent \ sets)}[/math] , то есть [math]I \subset 2^X [/math]. При этом должны выполняться следующие условия: [math]\varnothing \in I[/math] если [math]A \in I [/math] и [math] B \subset A[/math], то [math]B \in I[/math] если [math]A,B \in I[/math] и [math]|A| \gt |B|[/math], то [math] \exists \, x \in A \setminus B : B \cup \{x\} \in I[/math]

Определение:

База матроида [math]\mathrm{(basis \ matroid)}[/math] — максимальное по включению независимое множество .

Определение:

Зависимое множество [math]\mathrm{\ (dependent \ set)}[/math] — подмножество носителя матроида, не являющееся независимым.

Определение:

Цикл матроида [math]\mathrm{(circuit \ matroid)}[/math] — минимальное по включению зависимое множество.

См. также

• Примеры матроидов
• Аксиоматизация матроида базами
• Аксиоматизация матроида циклами

Источники информации

• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
  
• Wikipedia:Matroid
  
• Wikipedia:Antimatroid
  
• Wikipedia:Oriented_Matroid