Сортировка Хана

Сортировка Хана (Yijie Han) — сложный алгоритм сортировки целых чисел со сложностью [math]O(n \log\log n)[/math], где [math]n[/math] — количество элементов для сортировки.

Данная статья писалась на основе брошюры Хана, посвященной этой сортировке.

Описание

Алгоритм построен на основе экспоненциального поискового дерева (далее — ЭП-дерево) Андерсона (Andersson's exponential search tree). Сортировка происходит за счет вставки целых чисел в ЭП-дерево.

Andersson's exponential search tree

Определение:

ЭП-дерево - это дерево поиска, в котором все ключи хранятся в листьях этого дерева и количество детей у каждого узла уменьшается экспоненциально от глубины узла.

Общая структура ЭП-дерева

Структура ЭП-дерева:

1) Корень имеет [math]\Theta (n^e)[/math] сыновей ([math] 0 \lt e \lt 1 [/math]). Все сыновья являются ЭП-деревьями.

2) Каждое поддерево корня имеет [math]\Theta(n^{1-e})[/math] сыновей.

В этом дереве [math]O(n \log\log n)[/math] уровней. При нарушении баланса дерева необходимо балансирование, которое требует [math]O(n \log\log n)[/math] времени при [math]n[/math] вставленных целых числах. Такое время достигается за счет вставки чисел группами, а не поодиночке, как изначально предлагал Андерссон.

Определения

Определение:

Контейнер — объект, в которым хранятся наши данные. Например: 32-битные и 64-битные числа, массивы, вектора.

Определение:

Алгоритм, сортирующий [math]n[/math] целых чисел из множества [math]\{0, 1, \ldots, m - 1\}[/math], называется консервативным, если длина контейнера (число бит в контейнере) равна [math]O(\log(m + n))[/math]. Если длина больше, то алгоритм неконсервативный.

Определение:

Если сортируются целые числа из множества [math]\{0, 1, \ldots, m - 1\}[/math] с длиной контейнера [math]k \log (m + n)[/math] с [math]k[/math] [math]\ge[/math] 1, тогда сортировка происходит с неконсервативным преимуществом [math]k[/math].

Определение:

Для множества [math]S[/math] определим [math]\min(S) = \min\limits_{a \in S} a[/math] [math]\max(S) = \max\limits_{a \in S} a[/math] Набор [math]S1[/math] < [math]S2[/math] если [math]\max(S1) \le \min(S2)[/math]

Определение:

Предположим, есть набор [math]T[/math] из [math]p[/math] чисел, которые уже отсортированы как [math]a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p}[/math] и набор [math]S[/math] из [math]q[/math] чисел [math]b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{q}[/math]. Тогда разделением [math]q[/math] чисел [math]p[/math] числами называется [math]p + 1[/math] набор [math]S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{p}[/math], где [math]S_{0}[/math] < {[math]a_{1}[/math]} < [math]S_{1}[/math] < [math]\ldots[/math] < {[math]a_{p}[/math]} < [math]S_{p}[/math].

Леммы

Лемма (№ 1):

Даны целые числа [math]b[/math] [math]\ge[/math] [math]s[/math] [math]\ge[/math] 0, и [math]T[/math] является подмножеством множества [math]\{0, \ldots, 2^b - 1\}[/math], содержащим [math]n[/math] элементов, и [math]t[/math] [math]\ge[/math] [math]2^{-s + 1}[/math]С[math]^k_{n}[/math]. Функция [math]h_{a}[/math], принадлежащая [math]H_{b,s}[/math], может быть выбрана за время [math]O(bn^2)[/math] так, что количество коллизий [math]coll(h_{a}, T)[/math] [math]\le[/math] [math]t[/math].

Лемма (№ 2):

Выбор [math]s[/math]-ого наибольшего числа среди [math]n[/math] чисел, упакованных в [math]n/g[/math] контейнеров, может быть сделан за время [math]O(n \log g/g)[/math] и с использованием [math]O(n/g)[/math] памяти. В том числе, так может быть найдена медиана.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как возможно делать попарное сравнение [math]g[/math] чисел в одном контейнере с [math]g[/math] числами в другом и извлекать большие числа из одного контейнера и меньшие из другого за константное время, возможно упаковать медианы из первого, второго, [math]\ldots[/math], [math]g[/math]-ого чисел из 5 контейнеров в один контейнер за константное время. Таким образом, набор [math]S[/math] из медиан теперь содержится в [math]n/(5g)[/math] контейнерах. Рекурсивно находим медиану [math]m[/math] в [math]S[/math]. Используя [math]m[/math], уберем хотя бы [math]n/4[/math] чисел среди [math]n[/math]. Затем упакуем оставшиеся из [math]n/g[/math] контейнеров в [math]3n/4g[/math] контейнеров и затем продолжим рекурсию.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (№ 3):

Если [math]g[/math] целых чисел, в сумме использующих [math](\log n)/2[/math] бит, упакованы в один контейнер, тогда [math]n[/math] чисел в [math]n/g[/math] контейнерах могут быть отсортированы за время [math]O((n/g) \log g)[/math] с использованием [math]O(n/g)[/math] памяти.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как используется только [math](\log n)/2[/math] бит в каждом контейнере для хранения [math]g[/math] чисел, используем bucket sort, чтобы отсортировать все контейнеры, представляя каждый как число, что занимает [math]O(n/g)[/math] времени и памяти. Так как используется [math](\log n)/2[/math] бит на контейнер, понадобится [math]\sqrt{n}[/math] шаблонов для всех контейнеров. Затем поместим [math]g \lt (\log n)/2[/math] контейнеров с одинаковым шаблоном в одну группу. Для каждого шаблона останется не более [math]g - 1[/math] контейнеров, которые не смогут образовать группу. Поэтому не более [math]\sqrt{n}(g - 1)[/math] контейнеров не смогут сформировать группу. Для каждой группы помещаем [math]i[/math]-е число во всех [math]g[/math] контейнерах в один. Таким образом берутся [math]g[/math] [math]g[/math]-целых векторов и получаются [math]g[/math] [math]g[/math]-целых векторов, где [math]i[/math]-ый вектор содержит [math]i[/math]-ое число из входящего вектора. Эта транспозиция может быть сделана за время [math]O(g \log g)[/math], с использованием [math]O(g)[/math] памяти. Для всех групп это занимает время [math]O((n/g) \log g)[/math], с использованием [math]O(n/g)[/math] памяти. Для контейнеров вне групп (которых [math]\sqrt{n}(g - 1)[/math] штук) разбираем и собираем заново контейнеры. На это потребуется не более [math]O(n/g)[/math] времени и памяти. После всего этого используем карманную сортировку вновь для сортировки [math]n[/math] контейнеров. Таким образом, все числа отсортированы. Заметим, что когда [math]g = O( \log n)[/math], сортировка [math]O(n)[/math] чисел в [math]n/g[/math] контейнеров произойдет за время [math]O((n/g) \log\log n)[/math] с использованием [math]O(n/g)[/math] памяти. Выгода очевидна.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (№ 4):

Примем, что каждый контейнер содержит [math] \log m \gt \log n[/math] бит, и [math]g[/math] чисел, в каждом из которых [math](\log m)/g[/math] бит, упакованы в один контейнер. Если каждое число имеет маркер, содержащий [math](\log n)/(2g)[/math] бит, и [math]g[/math] маркеров упакованы в один контейнер таким же образом[math]^*[/math], что и числа, тогда [math]n[/math] чисел в [math]n/g[/math] контейнерах могут быть отсортированы по их маркерам за время [math]O((n \log\log n)/g)[/math] с использованием [math]O(n/g)[/math] памяти. (*): если число [math]a[/math] упаковано как [math]s[/math]-ое число в [math]t[/math]-ом контейнере для чисел, тогда маркер для [math]a[/math] упакован как [math]s[/math]-ый маркер в [math]t[/math]-ом контейнере для маркеров.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Контейнеры для маркеров могут быть отсортированы с помощью bucket sort потому, что каждый контейнер использует [math]( \log n)/2[/math] бит. Сортировка сгруппирует контейнеры для чисел как в лемме №3. Перемещаем каждую группу контейнеров для чисел.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (№ 5):

Предположим, что каждый контейнер содержит [math]\log m \log\log n \gt \log n[/math] бит, что [math]g[/math] чисел, в каждом из которых [math](\log m)/g[/math] бит, упакованы в один контейнер, что каждое число имеет маркер, содержащий [math](\log n)/(2g)[/math] бит, и что [math]g[/math] маркеров упакованы в один контейнер тем же образом что и числа. Тогда [math]n[/math] чисел в [math]n/g[/math] контейнерах могут быть отсортированы по своим маркерам за время [math]O(n/g)[/math] с использованием [math]O(n/g)[/math] памяти.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Заметим, что несмотря на то, что длина контейнера [math]\log m \log\log n[/math] бит, всего [math]\log m[/math] бит используется для хранения упакованных чисел. Так же как в лемме №3 и лемме №4 сортируем контейнеры упакованных маркеров с помощью bucket sort. Для того, чтобы перемещать контейнеры чисел, помещаем [math]g \log\log n[/math] вместо [math]g[/math] контейнеров чисел в одну группу. Для транспозиции чисел в группе, содержащей [math]g \log\log n[/math] контейнеров, упаковываем [math]g \log\log n[/math] контейнеров в [math]g[/math], упаковывая [math]\log\log n[/math] контейнеров в один. Далее делаем транспозицию над [math]g[/math] контейнерами. Таким образом перемещение занимает всего [math]O(g \log\log n)[/math] времени для каждой группы и [math]O(n/g)[/math] времени для всех чисел. После завершения транспозиции, распаковываем [math]g[/math] контейнеров в [math]g \log\log n[/math] контейнеров. Заметим, что если длина контейнера [math]\log m \log\log n[/math] и только [math]\log m[/math] бит используется для упаковки [math]g \le \log n[/math] чисел в один контейнер, тогда выбор в лемме №2 может быть сделан за время и память [math]O(n/g)[/math], потому что упаковка в доказательстве лемме №2 теперь может быть сделана за время [math]O(n/g)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (№ 6):

[math]n[/math] целых чисел можно отсортировать в [math]\sqrt{n}[/math] наборов [math]S_{1}[/math], [math]S_{2}[/math], [math]\ldots[/math], [math]S_{\sqrt{n}}[/math] таким образом, что в каждом наборе [math]\sqrt{n}[/math] чисел и [math]S_{i}[/math] < [math]S_{j}[/math] при [math]i[/math] < [math]j[/math], за время [math]O(n \log\log n/ \log k)[/math] и место [math]O(n)[/math] с неконсервативным преимуществом [math]k \log\log n[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Алгоритм сортировки [math]n[/math] целых чисел в [math]\sqrt{n}[/math] наборов, представленный ниже, является доказательством данной леммы. Постановка задачи и решение некоторых проблем: Рассмотрим проблему сортировки [math]n[/math] целых чисел из множества [math]\{0, 1, \ldots, m - 1\}[/math] в [math]\sqrt{n}[/math] наборов, как в условии леммы. Предполагаем, что каждый контейнер содержит [math]k \log\log n \log m[/math] бит и хранит число в [math]\log m[/math] бит. Поэтому неконсервативное преимущество — [math]k \log \log n[/math]. Также предполагаем, что [math]\log m \ge \log n \log\log n[/math]. Иначе можно использовать radix sort для сортировки за время [math]O(n \log\log n)[/math] и линейную память. Делим [math]\log m[/math] бит, используемых для представления каждого числа, в [math]\log n[/math] блоков. Таким образом, каждый блок содержит как минимум [math]\log\log n[/math] бит. [math]i[/math]-ый блок содержит с [math]i \log m/ \log n[/math]-ого по [math]((i + 1) \log m/ \log n - 1)[/math]-ый биты. Биты считаются с наименьшего бита, начиная с нуля. Теперь у нас имеется [math]2 \log n[/math]-уровневый алгоритм, который работает следующим образом: На каждой стадии работаем с одним блоком бит. Назовем эти блоки маленькими числами (далее м.ч.), потому что каждое м.ч. теперь содержит только [math]\log m/ \log n[/math] бит. Каждое число представлено и соотносится с м.ч., над которым работаем в данный момент. Положим, что нулевая стадия работает с самым большим блоком (блок номер [math]\log n - 1[/math]). Предполагаем, что биты этих м.ч. упакованы в [math]n/ \log n[/math] контейнеров с [math]\log n[/math] м.ч. упакованными в один контейнер. Пренебрегая временем, потраченным на эту упаковку, считаем, что она бесплатна. По лемме №2 находим медиану этих [math]n[/math] м.ч. за время и память [math]O(n/ \log n)[/math]. Пусть [math]a[/math] — это найденная медиана. Тогда [math]n[/math] м.ч. могут быть разделены на не более чем три группы: [math]S_{1}[/math], [math]S_{2}[/math] и [math]S_{3}[/math]. [math]S_{1}[/math] содержит м.ч., которые меньше [math]a[/math], [math]S_{2}[/math] содержит м.ч., равные [math]a[/math], [math]S_{3}[/math] содержит м.ч., большие [math]a[/math]. Также мощность [math]S_{1}[/math] и [math]S_{3} [/math] не превосходит [math]n/2[/math]. Мощность [math]S_{2}[/math] может быть любой. Пусть [math]S'_{2}[/math] — это набор чисел, у которых наибольший блок находится в [math]S_{2}[/math]. Тогда убираем из дальнейшего рассмотрения [math]\log m/ \log n[/math] бит (наибольший блок) из каждого числа, принадлежащего [math]S'_{2}[/math]. Таким образом, после первой стадии каждое число находится в наборе размера не большего половины размера начального набора или один из блоков в числе убран из дальнейшего рассмотрения. Так как в каждом числе только [math]\log n[/math] блоков, для каждого числа потребуется не более [math]\log n[/math] стадий, чтобы поместить его в набор половинного размера. За [math]2 \log n[/math] стадий все числа будут отсортированы. Так как на каждой стадии работаем с [math]n/ \log n[/math] контейнерами, то игнорируя время, необходимое на упаковку м.ч. в контейнеры и помещение м.ч. в нужный набор, затрачивается [math]O(n)[/math] времени из-за [math]2 \log n[/math] стадий. Сложная часть алгоритма заключается в том, как поместить м.ч. в набор, которому принадлежит соответствующее число, после предыдущих операций деления набора в нашем алгоритме. Предположим, что [math]n[/math] чисел уже поделены в [math]e[/math] наборов. Используем [math]\log e[/math] битов чтобы сделать марки для каждого набора. Теперь используем лемме №5. Полный размер маркера для каждого контейнера должен быть [math]\log n/2[/math], и маркер использует [math]\log e[/math] бит, значит количество маркеров [math]g[/math] в каждом контейнере должно быть не более [math]\log n/(2\log e)[/math]. В дальнейшем, так как [math]g = \log n/(2 \log e)[/math], м.ч. должны влезать в контейнер. Каждый контейнер содержит [math]k \log\log n \log n[/math] блоков, каждое м.ч. может содержать [math]O(k \log n/g) = O(k \log e)[/math] блоков. Заметим, что используется неконсервативное преимущество в [math]\log\log n[/math] для лемме №5 Поэтому предполагается, что [math]\log n/(2 \log e)[/math] м.ч., в каждом из которых [math]k \log e[/math] блоков битов числа, упакованны в один контейнер. Для каждого м.ч. используется маркер из [math]\log e[/math] бит, который показывает, к какому набору он принадлежит. Предполагаем, что маркеры так же упакованы в контейнеры, как и м.ч. Так как каждый контейнер для маркеров содержит [math]\log n/(2 \log e)[/math] маркеров, то для каждого контейнера требуется [math](\log n)/2[/math] бит. Таким образом, лемма №5 может быть применена для помещения м.ч. в наборы, которым они принадлежат. Так как используется [math]O((n \log e)/ \log n)[/math] контейнеров, то время, необходимое для помещения м.ч. в их наборы, равно [math]O((n \log e)/ \log n)[/math]. Стоит отметить, что процесс помещения нестабилен, т.к. основан на алгоритме из леммы №5. При таком помещении сразу возникает следующая проблема. Рассмотрим число [math]a[/math], которое является [math]i[/math]-ым в наборе [math]S[/math]. Рассмотрим блок [math]a[/math] (назовем его [math]a'[/math]), который является [math]i[/math]-ым м.ч. в [math]S[/math]. Когда используется вышеописанный метод перемещения нескольких следующих блоков [math]a[/math] (назовем это [math]a''[/math]) в [math]S[/math], [math]a''[/math] просто перемещен на позицию в наборе [math]S[/math], но не обязательно на позицию [math]i[/math] (где расположен [math]a'[/math]). Если значение блока [math]a'[/math] одинаково для всех чисел в [math]S[/math], то это не создаст проблемы потому, что блок одинаков вне зависимости от того в какое место в [math]S[/math] помещен [math]a''[/math]. Иначе у нас возникает проблема дальнейшей сортировки. Поэтому поступаем следующим образом: На каждой стадии числа в одном наборе работают на общем блоке, который назовем "текущий блок набора". Блоки, которые предшествуют текущему блоку содержат важные биты и идентичны для всех чисел в наборе. Когда помещаем больше бит в набор, последующие блоки помещаются в набор вместе с текущим блоком. Так вот, в вышеописанном процессе помещения предполагается, что самый значимый блок среди [math]k \log e[/math] блоков — это текущий блок. Таким образом, после того, как эти [math]k \log e[/math] блоков помещены в набор, изначальный текущий блок удаляется, потому что известно, что эти [math]k \log e[/math] блоков перемещены в правильный набор, и нам не важно где находился начальный текущий блок. Тот текущий блок находится в перемещенных [math]k \log e[/math] блоках. Стоит отметить, что после нескольких уровней деления размер наборов станет маленьким. Леммы 3, 4, 5 расчитаны на не очень маленькие наборы. Но поскольку сортируется набор из [math]n[/math] элементов в наборы размера [math]\sqrt{n}[/math], то проблем быть не должно. Собственно алгоритм: Algorithm Sort([math]k \log\log n[/math], [math]level[/math], [math]a_{0}[/math], [math]a_{1}[/math], [math]\ldots[/math], [math]a_{t}[/math]) [math]k \log\log n[/math] — это неконсервативное преимущество, [math]a_{i}[/math]-ые это входящие целые числа в наборе, которые надо отсортировать, [math]level[/math] это уровень рекурсии. Если [math](level == 1)[/math] тогда изучаем размер набора. Если размер меньше или равен [math]\sqrt{n}[/math], то [math]return[/math]. Иначе делим этот набор в [math]\le[/math] 3 набора, используя лемму №2, чтобы найти медиану, а затем используем лемму №5 для сортировки. Для набора, где все элементы равны медиане, не рассматриваем текущий блок и текущим блоком делаем следующий. Создаем маркер, являющийся номером набора для каждого из чисел (0, 1 или 2). Затем направляем маркер для каждого числа назад к месту, где число находилось в начале. Также направляем двубитное число для каждого входного числа, указывающее на текущий блок. От [math]u = 1[/math] до [math]k[/math] Упаковываем [math]a^{(u)}_{i}[/math]-ый в часть из [math]1/k[/math]-ых номеров контейнеров. Где [math]a^{(u)}_{i}[/math] содержит несколько непрерывных блоков, которые состоят из [math]1/k[/math]-ых битов [math]a_{i}[/math]. При этом у [math]a^{(u)}_{i}[/math] текущий блок это самый крупный блок. Вызываем Sort([math]k \log\log n[/math], [math]level - 1[/math], [math]a^{(u)}_{0}[/math], [math]a^{(u)}_{1}[/math], [math]\ldots[/math], [math]a^{(u)}_{t}[/math]). Когда алгоритм возвращается из этой рекурсии, маркер, показывающий для каждого числа, к какому набору это число относится, уже направлен назад к месту, где число находится во входных данных. Число, имеющее наибольшее число бит в [math]a_{i}[/math], показывающее на текущий блок в нем, так же направлено назад к [math]a_{i}[/math]. Отправляем [math]a_{i}[/math]-ые к их наборам, используя лемму №5. Algorithm IterateSort Call Sort([math]k \log\log n[/math], [math]\log_{k}((\log n)/4)[/math], [math]a_{0}[/math], [math]a_{1}[/math], [math]\ldots[/math], [math]a_{n - 1}[/math]); от 1 до 5 Помещаем [math]a_{i}[/math] в соответствующий набор с помощью bucket sort, потому что наборов около [math]\sqrt{n}[/math]. Для каждого набора [math]S = [/math]{[math]a_{i_{0}}, a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{t}}[/math]}, если [math]t \gt \sqrt{n}[/math], вызываем Sort([math]k \log\log n[/math], [math]\log_{k}((\log n)/4)[/math], [math]a_{i_{0}}, a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{t}}[/math]). Время работы алгоритма [math]O(n \log\log n/ \log k)[/math], что доказывает лемму.

[math]\triangleleft[/math]

Уменьшение числа бит в числах

Один из способов ускорить сортировку — уменьшить число бит в числе. Один из способов уменьшить число бит в числе — использовать деление пополам (эту идею впервые подал van Emde Boas). Деление пополам заключается в том, что количество оставшихся бит в числе уменьшается в 2 раза. Это быстрый способ, требующий [math]O(m)[/math] памяти. Для своего дерева Андерссон использует хеширование, что позволяет сократить количество памяти до [math]O(n)[/math]. Для того чтобы еще ускорить алгоритм, необходимо упаковать несколько чисел в один контейнер, чтобы затем за константное количество шагов произвести хеширование для всех чисел, хранимых в контейнере. Для этого используется хеш-функция для хеширования [math]n[/math] чисел в таблицу размера [math]O(n^2)[/math] за константное время без коллизий. Для этого используется модифицированная хеш-функция авторства: Dierzfelbinger и Raman.

Алгоритм: Пусть целое число [math]b \ge 0[/math] и пусть [math]U = \{0, \ldots, 2^b - 1\}[/math]. Класс [math]H_{b,s}[/math] хеш-функций из [math]U[/math] в [math]\{0, \ldots, 2^s - 1\}[/math] определен как [math]H_{b,s} = \{h_{a} \mid 0 \lt a \lt 2^b, a \equiv 1 (\bmod 2)\}[/math] и для всех [math]x[/math] из [math]U[/math]: [math]h_{a}(x) = (ax[/math] [math]\bmod[/math] [math]2^b)[/math] [math]div[/math] [math]2^{b - s}[/math].

Данный алгоритм базируется на лемме №1.

Взяв [math]s = 2 \log n[/math], получаем хеш-функцию [math]h_{a}[/math], которая захеширует [math]n[/math] чисел из [math]U[/math] в таблицу размера [math]O(n^2)[/math] без коллизий. Очевидно, что [math]h_{a}(x)[/math] может быть посчитана для любого [math]x[/math] за константное время. Если упаковать несколько чисел в один контейнер так, что они разделены несколькими битами нулей, то можно применить [math]h_{a}[/math] ко всему контейнеру, и в результате все хеш-значения для всех чисел в контейнере будут посчитаны. Заметим, что это возможно только потому, что в вычисление хеш-значения вовлечены только ([math]\bmod[/math] [math]2^b[/math]) и ([math]div[/math] [math]2^{b - s}[/math]).

Такая хеш-функция может быть найдена за [math]O(n^3)[/math].

Следует отметить, что, несмотря на размер таблицы [math]O(n^2)[/math], потребность в памяти не превышает [math]O(n)[/math], потому что хеширование используется только для уменьшения количества бит в числе.

Signature sorting

Предположим, что [math]n[/math] чисел должны быть отсортированы, и в каждом [math]\log m[/math] бит. Будем считаем, что в каждом числе есть [math]h[/math] сегментов, в каждом из которых [math]\log m/h[/math] бит. Теперь применяем хеширование ко всем сегментам и получаем [math]2h \log n[/math] бит хешированных значений для каждого числа. После сортировки на хешированных значениях для всех начальных чисел начальная задача по сортировке [math]n[/math] чисел по [math]\log m[/math] бит в каждом стала задачей по сортировке [math]n[/math] чисел по [math]\log m/h[/math] бит в каждом.

Также рассмотрим проблему последующего разделения. Пусть [math]a_{1}[/math], [math]a_{2}[/math], [math]\ldots[/math], [math]a_{p}[/math] — [math]p[/math] чисел и [math]S[/math] — множество чисeл. Необходимо разделить [math]S[/math] в [math]p + 1[/math] наборов, таких, что: [math]S_{0}[/math] < {[math]a_{1}[/math]} < [math]S_{1}[/math] < {[math]a_{2}[/math]} < [math]\ldots[/math] < {[math]a_{p}[/math]} < [math]S_{p}[/math]. Так как используется signature sorting то перед тем, как делать вышеописанное разделение, необходимо поделить биты в [math]a_{i}[/math] на [math]h[/math] сегментов и взять некоторые из них. Так же делим биты для каждого числа из [math]S[/math] и оставляем только один в каждом числе. По существу, для каждого [math]a_{i}[/math] берутся все [math]h[/math] сегментов. Если соответствующие сегменты [math]a_{i}[/math] и [math]a_{j}[/math] совпадают, то нам понадобится только один. Сегмент, который берется для числа в [math]S[/math] это сегмент, который выделяется из [math]a_{i}[/math]. Таким образом, начальная задача о разделении [math]n[/math] чисел по [math]\log m[/math] бит преобразуется в несколько задач на разделение с числами по [math]\log m/h[/math] бит.

Пример:

[math]a_{1}[/math] = 3, [math]a_{2}[/math] = 5, [math]a_{3}[/math] = 7, [math]a_{4}[/math] = 10, S = [math]\{1, 4, 6, 8, 9, 13, 14\}[/math].

Делим числа на 2 сегмента. Для [math]a_{1}[/math] получим верхний сегмент 0, нижний 3; [math]a_{2}[/math] — верхний 1, нижний 1; [math]a_{3}[/math] — верхний 1, нижний 3; [math]a_{4}[/math] — верхний 2, нижний 2. Для элементов из S получим: для 1 нижний 1, так как он выделяется из нижнего сегмента [math]a_{1}[/math]; для 4 нижний 0; для 8 нижний 0; для 9 нижний 1; для 13 верхний 3; для 14 верхний 3. Теперь все верхние сегменты, нижние сегменты 1 и 3, нижние сегменты 4, 5, 6, 7, нижние сегменты 8, 9, 10 формируют 4 новые задачи на разделение.

Использование signature sorting в данном алгоритме:

Есть набор [math]T[/math] из [math]p[/math] чисел, которые отсортированы как [math]a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p}[/math]. Используем числа в [math]T[/math] для разделения набора [math]S[/math] из [math]q[/math] чисел [math]b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{q}[/math] в [math]p + 1[/math] наборов [math]S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{p}[/math]. Пусть [math]h = \log n/(c \log p)[/math] для константы [math]c \gt 1[/math]. ([math]h/ \log\log n \log p[/math])-битные числа могут храниться в одном контейнере, содержащим [math](\log n)/(c \log\log n)[/math] бит. Сначала рассматриваем биты в каждом [math]a_{i}[/math] и каждом [math]b_{i}[/math] как сегменты одинаковой длины [math]h/ \log\log n[/math]. Рассматриваем сегменты как числа. Чтобы получить неконсервативное преимущество для сортировки, числа в этих контейнерах ([math]a_{i}[/math]-ом и [math]b_{i}[/math]-ом) хешируются, и получается [math]h/ \log\log n[/math] хешированных значений в одном контейнере. При вычислении хеш-значений сегменты не влияют друг на друга, можно даже отделить четные и нечетные сегменты в два контейнера. Не умаляя общности считаем, что хеш-значения считаются за константное время. Затем, посчитав значения, два контейнера объединяем в один. Пусть [math]a'_{i}[/math] — хеш-контейнер для [math]a_{i}[/math], аналогично [math]b'_{i}[/math]. В сумме хеш-значения имеют [math](2 \log n)/(c \log\log n)[/math] бит, хотя эти значения разделены на сегменты по [math]h/ \log\log n[/math] бит в каждом контейнере. Между сегментами получаются пустоты, которые забиваются нулями. Сначала упаковываются все сегменты в [math](2 \log n)/(c \log\log n)[/math] бит. Потом рассматривается каждый хеш-контейнер как число, и эти хеш-контейнеры сортируются за линейное время (сортировка будет рассмотрена чуть позже). После этой сортировки биты в [math]a_{i}[/math] и [math]b_{i}[/math] разрезаны на [math]\log\log n/h[/math] сегментов. Таким образом, получилось дополнительное мультипликативное преимущество в [math]h/ \log\log n[/math] (additional multiplicative advantage).

После того, как вышеописанный процесс повторится [math]g[/math] раз, получится неконсервативное преимущество в [math](h/ \log\log n)^g[/math] раз, в то время как потрачено только [math]O(gqt)[/math] времени, так как каждое многократное деление происходит за линейное время [math]O(qt)[/math].

Хеш-функция, которая используется, находится следующим образом. Будут хешироватся сегменты, [math]\log\log n/h[/math]-ые, [math](\log\log n/h)^2[/math]-ые, [math]\ldots[/math] по счету в числе. Хеш-функцию для [math](\log\log n/h)^t[/math]-ых по счету сегментов, получаем нарезанием всех [math]p[/math] чисел на [math](\log\log n/h)^t[/math] сегментов. Рассматривая каждый сегмент как число, получаем [math]p(\log\log n/h)^t[/math] чисел. Затем получаем одну хеш-функцию для этих чисел. Так как [math]t \lt \log n[/math], то получится не более [math]\log n[/math] хеш-функций.

Рассмотрим сортировку за линейное время, о которой было упомянуто ранее. Предполагается, что хешированные значения для каждого контейнера упакованы в [math](2 \log n)/(c \log\log n)[/math] бит. Есть [math]t[/math] наборов, в каждом из которых [math]q + p[/math] хешированных контейнеров по [math](2 \log n)/(c \log\log n)[/math] бит в каждом. Эти контейнеры должны быть отсортированы в каждом наборе. Комбинируя все хеш-контейнеры в один pool, сортируем следующим образом.

Procedure Linear-Time-Sort

Входные данные: [math]r \gt = n^{2/5}[/math] чисел [math]d_{i}[/math], [math]d_{i}.value[/math] — значение числа [math]d_{i}[/math], в котором [math](2 \log n)/(c \log\log n)[/math] бит, [math]d_{i}.set[/math] — набор, в котором находится [math]d_{i}[/math]. Следует отметить, что всего есть [math]t[/math] наборов.

1. Сортируем все [math]d_{i}[/math] по [math]d_{i}.value[/math], используя bucket sort. Пусть все отртированные числа в [math]A[1..r][/math]. Этот шаг занимает линейное время, так как сортируется не менее [math]n^{2/5}[/math] чисел.
2. Помещаем все [math]A[j][/math] в [math]A[j].set[/math].

Сортировка с использованием O(n log log n) времени и памяти

Для сортировки [math]n[/math] целых чисел в диапазоне {[math]0, 1, \ldots, m - 1[/math]} предполагается, что в нашем консервативном алгоритме используется контейнер длины [math]O(\log (m + n))[/math]. Далее везде считается, что все числа упакованы в контейнеры одинаковой длины.

Берем [math]1/e = 5[/math] для ЭП-дерева Андерссона. Следовательно, у корня будет [math]n^{1/5}[/math] детей, и каждое ЭП-дерево в каждом ребенке будет иметь [math]n^{4/5}[/math] листьев. В отличие от оригинального дерева, зараз вставляется не один элемент, а [math]d^2[/math], где [math]d[/math] — количество детей узла дерева, в котором числа должны спуститься вниз. Алгоритм полностью опускает все [math]d^2[/math] чисел на один уровень. В корне опускаются [math]n^{2/5}[/math] чисел на следующий уровень. После того, как все числа опустились на следующий уровень, они успешно разделились на [math]t_{1} = n^{1/5}[/math] наборов [math]S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{t_{1}}[/math], в каждом из которых [math]n^{4/5}[/math] чисел и [math]S_{i} \lt S_{j}, i \lt j[/math]. Затем, берутся [math]n^{(4/5)(2/5)}[/math] чисел из [math]S_{i}[/math] и опускаются на следующий уровень ЭП-дерева. Это повторяется, пока все числа не опустятся на следующий уровень. На этом шаге числа разделены на [math]t_{2} = n^{1/5}n^{4/25} = n^{9/25}[/math] наборов [math]T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{t_{2}}[/math], аналогичных наборам [math]S_{i}[/math], в каждом из которых [math]n^{16/25}[/math] чисел. Теперь числа опускаются дальше в ЭП-дереве.

Нетрудно заметить, что перебалансирока занимает [math]O(n \log\log n)[/math] времени с [math]O(n)[/math] времени на уровень, аналогично стандартному ЭП-дереву Андерссона.

Нам следует нумеровать уровни ЭП-дерева с корня, начиная с нуля. Рассмотрим спуск вниз на уровне [math]s[/math]. Имеется [math]t = n^{1 - (4/5)^s}[/math] наборов по [math]n^{(4/5)^s}[/math] чисел в каждом. Так как каждый узел на данном уровне имеет [math]p = n^{(1/5)(4/5)^s}[/math] детей, то на [math]s + 1[/math] уровень опускаются [math]q = n^{(2/5)(4/5)^s}[/math] чисел для каждого набора, или всего [math]qt \ge n^{2/5}[/math] чисел для всех наборов за один раз.

Спуск вниз можно рассматривать как сортировку [math]q[/math] чисел в каждом наборе вместе с [math]p[/math] числами [math]a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p}[/math] из ЭП-дерева, так, что эти [math]q[/math] чисел разделены в [math]p + 1[/math] наборов [math]S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{p}[/math] таких, что [math]S_{0} \lt [/math] {[math]a_{1}[/math]} [math]\lt [/math] [math]\ldots[/math] [math]\lt [/math] {[math]a_{p}[/math]} [math]\lt S_{p}[/math].

Так как [math]q[/math] чисел не надо полностью сортировать и [math]q = p^2[/math], то можно использовать лемму №6 для сортировки. Для этого необходимо неконсервативное преимущество, которое получается с помощью signature sorting. Для этого используется линейная техника многократного деления (multi-dividing technique).

После [math]g[/math] сокращений бит в signature sorting получаем неконсервативное преимущество в [math](h/ \log\log n)^g[/math]. Мы не волнуемся об этих сокращениях до конца потому, что после получения неконсервативного преимущества мы можем переключиться на лемму №6 для завершения разделения [math]q[/math] чисел с помощью [math]p[/math] чисел на наборы. Заметим, что по природе битового сокращения начальная задача разделения для каждого набора перешла в [math]w[/math] подзадач разделения на [math]w[/math] поднаборов для какого-то числа [math]w[/math].

Теперь для каждого набора все его поднаборы в подзадачах собираются в один набор. Затем, используя лемму №6, делается разделение. Так как получено неконсервативное преимущество в [math](h/ \log\log n)^g[/math] и работа происходит на уровнях не ниже, чем [math]2 \log\log\log n[/math], то алгоритм занимает [math]O(qt \log\log n/(g(\log h - \log\log\log n) - \log\log\log n)) = O(\log\log n)[/math] времени.

В итоге разделились [math]q[/math] чисел [math]p[/math] числами в каждый набор. То есть получилось, что [math]S_{0}[/math] < {[math]e_{1}[/math]} < [math]S_{1}[/math] < [math]\ldots[/math] < {[math]e_{p}[/math]} < [math]S_{p}[/math], где [math]e_{i}[/math] — сегмент [math]a_{i}[/math], полученный с помощью битового сокращения. Такое разделение получилось комбинированием всех поднаборов в подзадачах. Предполагаем, что числа хранятся в массиве [math]B[/math] так, что числа в [math]S_{i}[/math] предшествуют числам в [math]S_{j}[/math] если [math]i \lt j[/math] и [math]e_{i}[/math] хранится после [math]S_{i - 1}[/math], но до [math]S_{i}[/math].

Пусть [math]B[i][/math] находится в поднаборе [math]B[i].subset[/math]. Чтобы позволить разделению выполниться, для каждого поднабора помещаем все [math]B[j][/math] в [math]B[j].subset[/math].

На это потребуется линейное время и место.

Теперь рассмотрим проблему упаковки, которая решается следующим образом. Считается, что число бит в контейнере [math]\log m \ge \log\log\log n[/math], потому что в противном случае можно использовать radix sort для сортировки чисел. У контейнера есть [math]h/ \log\log n[/math] хешированных значений (сегментов) в себе на уровне [math]\log h[/math] в ЭП-дереве. Полное число хешированных бит в контейнере равно [math](2 \log n)(c \log\log n)[/math] бит. Хешированные биты в контейнере выглядят как [math]0^{i}t_{1}0^{i}t_{2} \ldots t_{h/ \log\log n}[/math], где [math]t_{k}[/math]-ые — хешированные биты, а нули — это просто нули. Сначала упаковываем [math]\log\log n[/math] контейнеров в один и получаем [math]w_{1} = 0^{j}t_{1, 1}t_{2, 1} \ldots t_{\log\log n, 1}0^{j}t_{1, 2} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}[/math], где [math]t_{i, k}[/math]: элемент с номером [math]k = 1, 2, \ldots, h/ \log\log n[/math] из [math]i[/math]-ого контейнера. Используем [math]O(\log\log n)[/math] шагов, чтобы упаковать [math]w_{1}[/math] в [math]w_{2} = 0^{jh/ \log\log n}t_{1, 1}t_{2, 1} \ldots t_{\log\log n, 1}t_{1, 2}t_{2, 2} \ldots t_{1, h/ \log\log n}t_{2, h/ \log\log n} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}[/math]. Теперь упакованные хеш-биты занимают [math]2 \log n/c[/math] бит. Используем [math]O(\log\log n)[/math] времени чтобы распаковать [math]w_{2}[/math] в [math]\log\log n[/math] контейнеров [math]w_{3, k} = 0^{jh/ \log\log n}0^{r}t_{k, 1}0^{r}t_{k, 2} \ldots t_{k, h/ \log\log n} k = 1, 2, \ldots, \log\log n[/math]. Затем, используя [math]O(\log\log n)[/math] времени, упаковываем эти [math]\log\log n[/math] контейнеров в один [math]w_{4} = 0^{r}t_{1, 1}0^{r}t_{1, 2} \ldots t_{1, h/ \log\log n}0^{r}t_{2, 1} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}[/math]. Затем, используя [math]O(\log\log n)[/math] шагов, упаковываем [math]w_{4}[/math] в [math]w_{5} = 0^{s}t_{1, 1}t_{1, 2} \ldots t_{1, h/ \log\log n}t_{2, 1}t_{2, 2} \ldots t_{\log\log n, h/ \log\log n}[/math]. В итоге используется [math]O(\log\log n)[/math] времени для упаковки [math]\log\log n[/math] контейнеров. Считаем, что время, потраченное на один контейнер — константа.

Литература

• Deterministic Sorting in O(n \log\log n) Time and Linear Space. Yijie Han.
• А. Андерссон. Fast deterministic sorting and searching in linear space. Proc. 1996 IEEE Symp. on Foundations of Computer Science. 135-141(1996)
• A. Andersson, M. Thorup. Dynamic ordered sets with exponential search trees.
• Integer_sorting