Теорема Оре

Теорема:

Если [math]n \ge 3[/math] и [math]deg\ u + deg\ v \ge n[/math] для любых двух различных несмежных вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] неориентированного графа [math]G[/math], то [math]G[/math] - гамильтонов граф.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть, от противного, существует граф [math]G[/math], который удовлетворяет условию теоремы, но не является гамильтоновым графом. Будем добавлять к нему новые ребра до тех пор, пока не получим максимальный негамильтонов граф [math]G'[/math]. В силу того, что мы только добавляли ребра, условие теоремы не нарушилось. Пусть [math]u,v[/math] несмежные вершины в полученном графе [math]G'[/math]. Если добавить ребро [math]uv[/math], появится гамильтонов цикл. Тогда путь [math](u,v)[/math] - гамильтонов. Для вершин [math]u,v[/math] выполнено [math]deg\ u + deg\ v \ge n.[/math] По принципу Дирихле всегда найдутся две смежные вершины [math] t_1,t_2[/math] на пути [math](u,v)[/math] ,т.е. [math]u..t_1t_2..v[/math] , такие, что существует ребро [math]ut_2[/math] и ребро [math]t_1v.[/math] Действительно, пусть [math]S=[/math] { [math] i| e_i=ut_{i+1} \in EG[/math] } и [math]T = [/math] { [math] i| f_i=t_iv \in EG[/math] } Имеем: [math]\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = deg\ u + deg\ v \ge n [/math], но [math]\left\vert S + T \right\vert \lt n.[/math] Тогда [math]\left\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert \gt 0[/math] т.е. [math]\exists i| ut_{i+1}\in EG[/math] и [math] t_iv \in EG.[/math] Получили противоречие, т.к. [math]u..t_1v..t_2u[/math] - гамильтонов цикл.

[math]\triangleleft[/math]