Троичная логика

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Троичная или трёхзначная логика (англ. ternary logic) — исторически первая многозначная логика, разработанная Яном Лукасевичем в 1920 г. Является простейшим расширением двузначной логики.


В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки [math]-[/math] и [math]+[/math]. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак [math]0[/math]. Допустимо использование таких наборов знаков, как (0,1,2), (-1,0,1), (0,1/2,1) (N,Z,P), (Л,Н,И) и др.

Классическими примерами состояний такой логики являются знаки [math]\gt [/math], [math]\lt [/math] и [math]=[/math], состояние постоянного тока (движется в одну сторону, движется в другую сторону, отсутствует) и др.

Одноместные операции

Очевидно, что в троичной логике всего существует [math]3^3=27[/math] одноместных операций.

[math]NOT^-[/math],[math]NOT[/math] и [math]NOT^+[/math] — операторы инверсии. [math]NOT^-[/math] и [math]NOT^+[/math] сохраняют состояние [math]-[/math] и [math]+[/math] соответственно.

[math]S^+[/math], [math]S^+[/math] — операторы выбора. Превращают одно из трёх состояний в [math](+)[/math], а остальные две приобретают значение [math](-)[/math].

[math]INC[/math] и [math]DEC[/math] — операторы модификации, соответственно увеличение и уменьшение трита на единицу по модулю три. При переполнении трита счёт начинается заново ([math]INC (+) = (-)[/math]).

"[math]+[/math]", " [math]0[/math] " и "[math]-[/math]" — фунцкии, не зависящие от аргумента [math]a[/math].

[math]a[/math][math]-[/math][math]0[/math][math]+[/math]
[math]f_0[/math]---[math]-[/math]
[math]f_1[/math]--0[math]\searrow[/math]
[math]f_2[/math]--+[math]S^+[/math]
[math]f_3[/math]-0-
[math]f_4[/math]-00
[math]f_5[/math]-0+[math]a[/math]
[math]f_6[/math]-+-[math]S[/math]
[math]f_7[/math]-+0[math]NOT^-[/math]
[math]f_8[/math]-++
[math]f_9[/math]0--
[math]f_{10}[/math]0-0
[math]f_{11}[/math]0-+[math]NOT^+[/math]
[math]f_{12}[/math]00-
[math]f_{13}[/math]000[math]0[/math]
[math]f_{14}[/math]00+[math]a^+[/math]
[math]f_{15}[/math]0+-[math]INC[/math]
[math]f_{16}[/math]0+0[math]a^o[/math]
[math]f_{17}[/math]0++[math]\nearrow[/math]
[math]f_{18}[/math]+--[math]S^-[/math]
[math]f_{19}[/math]+-0[math]DEC[/math]
[math]f_{20}[/math]+-+
[math]f_{21}[/math]+0-[math]NOT[/math]
[math]f_{22}[/math]+00[math]a^-[/math]
[math]f_{23}[/math]+0+
[math]f_{24}[/math]++-
[math]f_{25}[/math]++0
[math]f_{26}[/math]+++[math]+[/math]


Остальные функции образуются путём сочетания операторов выбора с операторами инверсии и модификации.

 [math]S^-[/math][math]S[/math][math]S^+[/math]
[math]NOT^-[/math][math]f_9[/math][math]f_3[/math][math]f_1[/math]
[math]NOT[/math][math]f_8[/math][math]f_{20}[/math][math]f_{24}[/math]
[math]NOT^-[/math][math]f_{22}[/math][math]f_{16}[/math][math]f_{14}[/math]
[math]INC[/math][math]f_4[/math][math]f_{10}[/math][math]f_{12}[/math]
[math]DEC[/math][math]f_{17}[/math][math]f_{23}[/math][math]f_{25}[/math]

Дизъюнкция и конъюнкция

Всего в троичной логике существует [math]3^{3^2}=19683[/math] двухместные операции. Для реализации любой из них при использовании сколь угодного числа переменных достаточно использовать операции выбора и наиболее простые двухместные операции: дизъюнкция и конъюнкция.

В троичной логике более наглядно использование префиксной нотации для этих операций.

[math]a \vee b = max(a,b)[/math]

[math]a \wedge b = min(a,b)[/math]

Таблица результатов дизъюнкции двух переменных.

[math]max(a,b)[/math][math]-[/math][math]0[/math][math]+[/math]
[math]-[/math]-0+
[math]0[/math]00+
[math]+[/math]+++

Таблица результатов конъюнкции двух переменных.

[math]max(a,b)[/math][math]-[/math][math]0[/math][math]+[/math]
[math]-[/math]---
[math]0[/math]-00
[math]+[/math]-0+

Алгебраические свойства

  1. Свойства констант:

    2. [math]a \wedge (+) = a[/math]

    [math]a \wedge (-) = (-)[/math]

    [math]a \vee (+) = (+)[/math]

    [math]a \vee (-) = a[/math]

    [math]\overline{(-)} = (+)[/math]

    [math]\overline{(+)} = (-)[/math]

  2. Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы, закон идемпотентности.
  3. Закон двойного отрицания (отрицания Лукашевича) и тройного (циклического) отрицания:

    4. [math]\overline{\overline{a}}=a[/math]

    [math]a'''=a[/math]

  4. Буквальное определение циклического отрицания вытекает из следующих свойств:

    5. [math](-) ' = 0[/math]

    [math]0 ' = (+)[/math]

    [math](+) ' = (-)[/math]

  5. Имеет место быть неизменность третьего состояния ("0") при отрицании Лукашевича:

    6. [math]\overline{0} = 0[/math]

    [math]\overline{(a \wedge 0)} = \overline{a} \vee 0[/math]

Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги.

  1. Закон несовместности состояний (аналог закона противоречия в двоичной логике):

    2. [math]Sa \wedge Sa'' = (-)[/math]

    [math]Sa' \wedge Sa'' = (-)[/math]

    [math]Sa' \wedge Sa = (-)[/math]

  2. Закон исключённого четвёртого (вместо закона исключённого третьего), он же закон полноты состояний:

    3. [math]Sa' \vee Sa \vee Sa'' = (+)[/math], или

    [math]S^-a \vee Sa \vee S^+a = (+)[/math]

  3. Трёхчленный закон Блейка-Порецкого:

    4. [math]a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b[/math], или

    [math]a \vee S^-a \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b[/math]

  4. Закон трёхчленного склеивания:

    5. [math] a \wedge Sb' \vee a \wedge Sb \vee a \wedge Sb'' = a[/math], или

    [math]a \wedge S^-b \vee a \wedge Sb \vee a \wedge S^+b = a[/math]

  5. Закон обобщённого трёхчленного склеивания:

    6. [math]a \wedge Sd' \vee b \wedge Sd \vee c \wedge Sd'' \vee a \wedge b \wedge c = a \wedge Sd' \vee b \wedge Sd \vee c \wedge Sd''[/math], или

    [math]a \wedge S^-d \vee b \wedge Sd \vee c \wedge S^+d \vee a \wedge b \wedge c = a \wedge S^-d \vee b \wedge Sd \vee c \wedge S^+d[/math]

  6. Антиизотропность отрицания Лукашевича:

    7. [math]a \leq b \Rightarrow \overline a \geq \overline b[/math]

См. также

Источники

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Троичная_логика&oldid=41069»