Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора

Определение:

Контекстно-свободной грамматикой (англ. сontext-free grammar) называется грамматика, у которой в левых частях всех правил стоят только одиночные нетерминалы.

Определение:

Контекстно-свободный язык (англ. context-free language) — язык, задаваемый контекстно-свободной грамматикой.

Определение:

Выводом слова [math]\alpha[/math] называется последовательность строк, состоящих из терминалов и нетерминалов. Первая строка последовательности состоит из одного стартового нетерминала. Каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены любого нетерминала по одному (любому) из правил, а последней строкой в последовательности является слово [math]\alpha[/math].

Рассмотрим на примере грамматики, выводящей все правильные скобочные последовательности.

Терминальные символы — [math]"("[/math] и [math]")"[/math];

[math]S[/math] — стартовый нетерминал;

Правила:
[math]S\rightarrow (S)S[/math]
[math]S\rightarrow S(S)[/math]
[math]S\rightarrow \varepsilon[/math]
Выведем слово [math]"(()(()))()"[/math]:
[math]\boldsymbol{S}\Rightarrow (S)\boldsymbol{S} \Rightarrow (S)(\boldsymbol{S})S\Rightarrow(S)()\boldsymbol{S}\Rightarrow(\boldsymbol{S})()\Rightarrow(\boldsymbol{S}(S))()\Rightarrow(S(S)(\boldsymbol{S}))()\Rightarrow(S(S)(\boldsymbol{S}(S)))()\Rightarrow (S(\boldsymbol{S})((S)))()\Rightarrow(\boldsymbol{S}()((S)))()\Rightarrow(()((\boldsymbol{S})))()\Rightarrow(()(()))()[/math]

Определение:

Левосторонним выводом слова [math]\alpha[/math] называется такой его вывод, что каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены по одному из правил самого левого встречающегося в строке нетерминала.

Определение:

Правосторонним выводом слова [math]\alpha[/math] называется такой его вывод, что каждая последующая строка получена из предыдущей путем замены по одному из правил самого правого встречающегося в строке нетерминала.

Рассмотрим левосторонний вывод нашей скобочной последовательности:
[math]\boldsymbol{S}\Rightarrow (\boldsymbol{S})S \Rightarrow ((\boldsymbol{S})S)S\Rightarrow (()\boldsymbol{S})S\Rightarrow(()\boldsymbol{S}(S))S\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}))S\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}(S)))S\Rightarrow(()((\boldsymbol{S})))S\Rightarrow(()(()))\boldsymbol{S}\Rightarrow(()(()))(\boldsymbol{S})S\Rightarrow(()(()))()\boldsymbol{S}\Rightarrow(()(()))()[/math]

Определение:

Деревом разбора грамматики (англ. parse tree) называется дерево, в вершинах которого записаны терминалы или нетерминалы, а дети вершины, в которой записан нетерминал, соответствуют раскрытию нетерминала по одному любому правилу, в левой части которого стоит этот нетерминал, и упорядочены так же, как в правой части этого правила. Все вершины, помеченные терминалами, являются листьями. Все вершины, помеченные нетерминалами, имеют детей.

Определение:

Крона дерева разбора — множество терминальных символов, упорядоченное в соответствии с номерами их достижения при обходе дерева в глубину из корня.

Крона дерева разбора представляет из себя слово языка, которое выводит это дерево.
Рассмотрим, как будет выглядеть дерево разбора нашей скобочной последовательности.

Определение:

Грамматика называется однозначной (англ. unambiguous grammar), если у каждого слова имеется не более одного дерева разбора в этой грамматике.

Лемма:

Пусть [math]\Gamma[/math] — однозначная грамматика. Тогда [math]\forall \omega \in \mathbb{L}(\Gamma)[/math] существует ровно один левосторонний (правосторонний) вывод [math]\omega[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что по дереву разбора однозначно восстанавливается левосторонний вывод. Поскольку каждое слова из языка выводится только одним деревом разбора, то существует только один левосторонний вывод этого слова.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.