Обход в ширину

Обход в ширину (Поиск в ширину, англ. BFS, Breadth-first search) — один из простейших алгоритмов обхода графа, являющийся основой для многих важных алгоритмов для работы с графами.

Описание алгоритма

Пусть задан невзвешенный граф [math] G = (V, E) [/math], в котором выделена исходная вершина [math]s[/math]. Для алгоритма нам потребуются очередь, которая сначала содержит только [math] s [/math], и множество посещенных вершин [math] X [/math], которое изначально тоже содержит только [math] s [/math]. На каждом шаге алгоритм вынимает из начала очереди вершину, рассматривает все исходящие из нее ребра и добавляет все связанные с ней непосещенные вершины в [math] X [/math] и в конец очереди. Если очередь пуста, то алгоритм завершает работу.

Поиск в ширину также может построить дерево поиска в ширину. Изначально оно состоит из одного корня [math] s [/math]. Когда мы добавляем непосещенную вершину в очередь, то добавляем ее и ребро, по которому мы до нее дошли, в дерево. Поскольку каждая вершина может быть посещена не более одного раза, она имеет не более одного родителя. После окончания работы алгоритма для каждой достижимой из [math] s [/math] вершины [math] t [/math] путь в дереве поиска в ширину соответствует кратчайшему пути от [math] s [/math] до [math] t [/math] в [math] G [/math].

Также можно для каждой вершины [math] t \in V [/math] считать длину этого пути, равную [math] d[t] [/math]. Можно считать, что для непосещенных вершин эта длина бесконечно велика. Тогда на каждом шаге длина пути до [math] t [/math] равна [math] \rho(s, t) [/math], если [math] t [/math] посещена и [math] \infty [/math] в противном случае. Отсюда следует, что если на каждом шаге обновлять длины путей, то информация о множестве [math] X [/math] является избыточной, и его можно не хранить.

Анализ времени работы

Оценим время работы для входного графа [math]G = (V, E)[/math]. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют [math] O(1) [/math] времени, так что общее время работы с очередью составляет [math] O(|V|) [/math] операций. Для каждой вершины [math] v [/math] рассматривается не более [math] deg\ v [/math] ребер, инцидентных ей. Так как [math] \sum\limits_{v \in V} deg\ v = 2|E| [/math], то время, используемое на работу с ребрами, составляет [math] O(|E|) [/math]. Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — [math] O(|V| + |E|) [/math].

Корректность

Утверждение:

В очереди поиска в ширину расстояние вершин до [math]s[/math] монотонно неубывает.

[math]\triangleright[/math]

Докажем это утверждение индукцией по числу выполненных алгоритмом шагов. База: изначально очередь содержит только одну вершину [math] s [/math] с расстоянием 0, утверждение верно. Переход: пусть после [math] l [/math]-ого шага алгоритма очередь содержит [math] p [/math] вершин с расстоянием [math] k [/math] и [math] q [/math] вершин с расстоянием [math] k + 1 [/math]. Тогда на [math] l+1 [/math]-ом шаге мы извлечем из очереди одну вершину и добавим в нее все непосещенные([math] r [/math] вершин), связанные с ней; расстояние до них, очевидно, будет равно [math] k + 1 [/math]. У нас останется [math] p - 1 [/math] (возможно, 0) вершин с расстоянием [math] k [/math] и [math] q + r [/math] вершин с расстоянием k + 1, что соответствует нашему инварианту.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Алгоритм поиска в ширину в невзвешенном графе находит длины кратчайших путей до всех достижимых вершин.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Допустим, что это не так. Выберем из вершин, для которых кратчайшие пути от [math] s [/math] найдены некорректно, ту, настоящее расстояние до которой минимально. Пусть это вершина [math] u [/math], и она имеет своим предком в дереве обхода в ширину [math] v [/math], а предок в кратчайшем пути до [math] u [/math] — вершина [math] w [/math]. Так как [math] w [/math] — предок [math] u [/math] в кратчайшем пути, то [math] \rho(s, u) = \rho(s, w) + 1 \gt \rho(s, w) [/math], и расстояние до w найдено верно, [math] \rho(s, w) = d[w] [/math]. Значит, [math] \rho(s, u) = d[w] + 1 [/math]. Так как [math] v [/math] — предок [math] u [/math] в дереве обхода в ширину, то [math] d[u] = d[v] + 1 [/math]. Расстояние до [math] u [/math] найдено некорректно, поэтому [math] \rho(s, u) \lt d[u] [/math]. Подставляя сюда два последних равенства, получаем [math] d[w] + 1 \lt d[v] + 1 [/math], то есть, [math] d[w] \lt d[v] [/math]. Из ранее доказанной леммы следует, что в этом случае вершина [math] w [/math] попала в очередь и была обработана раньше, чем [math] v [/math]. Но она соединена с [math] u [/math], значит, [math] v [/math] не может быть предком [math] u [/math] в дереве обхода в ширину, мы пришли к противоречию, следовательно, найденные расстояния до всех вершин являются кратчайшими.

[math]\triangleleft[/math]

Реализация

Предложенная ниже функция возвращает расстояние между вершинами source и destination. E - список ребер, Q - очередь. Множество [math] X [/math] не хранится, вместо него используются расстояния в дереве обхода в ширину. Заметим, что расстояние от вершины source до вершины u, хранится в поле d[u].

int BFS(E: list<int, int>, source: int, destination: int)
    d.fill([math] \infty [/math])
    d[source] = 0
    Q = [math] \varnothing [/math]
    Q.push(source)
    while Q [math] \ne \varnothing [/math] 
        q = Q.pop()
        for <q, v> in E
            if d[v] == [math] \infty [/math]
                d[v] = d[q] + 1
                Q.push(v)
    return d[destination]

Примеры задач

0-1 BFS

Пусть в графе разрешены ребра веса 0 и 1, необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Для решения данной задачи модифицируем приведенный выше алгоритм следующим образом: вместо очереди будем использовать дек, а вместо добавления вершины в конец будем добавлять вершину в начало, если рассматриваемое ее ребро имеет вес 0, а иначе в конец. Соответственно релаксируем расстояние до вершины. Таким образом, в начале дека всегда будет вершина, расстояние до которой меньше либо равно расстоянию до остальных вершин дека, и инвариант расположения элементов в деке в порядке неубывания сохраняется. Значит, алгоритм корректен на том же основании, что и обычный BFS. Очевидно, что каждая вершина войдет в дек не более двух раз, значит, асимптотика у данного алгоритма та же, что и у обычного BFS.

1-k BFS

Пусть в графе разрешены ребра веса [math]1..k[/math], необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Представим ребро [math]uv[/math] веса [math]m[/math] как последовательность ребер [math]uu_1u_2..u_{m - 1}v[/math] (где [math]u_1..u_{m - 1}[/math] - новые вершины). Применим данную операцию ко всем ребрам графа [math]G(V, E)[/math]. Получим граф, состоящий (в худшем случае) из [math]k|E|[/math] ребер и [math]|V| + (k - 1)|E|[/math] вершин. Для нахождения кратчайшего пути следует запустить BFS на новом графе. Асимптотикой данного алгоритма является [math] O(|V| + (2k - 1)|E|) [/math].

Источники информации

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 459. — ISBN 5-8489-0857-4
• Поиск в ширину на e-maxx.ru
• Wikipedia — Breadth-first search
• Wikipedia — Поиск в ширину
• Визуализатор алгоритма