Задача о порядке перемножения матриц

Задача:

Дана последовательность из [math]n[/math] матриц, требуется найти самый эффективный способ их перемножения.

У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же.

Расстановок скобок достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно [math]n[/math]–ому числу Каталана. Однако, порядок в котором расставляются скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на эффективность.

Например, предположим, что [math]\dim{A}= 10 \times 30[/math], [math]\dim{B} = 30 \times 5[/math], [math]\dim{C} = 5 \times 60[/math]. Тогда:

[math] (A \times B)\times C = (10\times30\times5) + (10\times5\times60) = 1500 + 3000 = 4500[/math] операций

[math] A \times(B\times C) = (30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000[/math] операций.

Как мы видим, первый способ гораздо эффективней.

Решение задачи

Перебор всех вариантов

В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий рекурсивный алгоритм:

• взять последовательность матриц и разделить её на две части,
• найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности,
• сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц,
• сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.

Или другими словами, давайте обозначим через [math]f(i, j)[/math] минимальное количество скалярных умножений для вычисления матрицы [math]M_{i..j}[/math], то получаем следующее рекуррентное соотношение: [math] f(i,j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i=j \\ \min\limits_{i \leqslant k \lt j}{(f(i,k) + f(k+1,j) + p_{i-1}p_kp_j)} & i \lt j \end{array} \right. [/math]

Объясняется оно просто: для того, чтобы найти произведение матриц [math]M_{i..j}[/math] при [math]i=j[/math] не нужно ничего делать — это и есть сама матрица [math]M_i[/math]. При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы [math]M_{i..j}[/math] на матрицы [math]M_{i..k}[/math] и [math]M_{k+1..j}[/math], ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы [math]M_{i..j}[/math].(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц [math]M_{i..k}M_{k+1..j}[/math]). Считаем, что размеры матриц заданы в массиве [math]p[/math] и размер матрицы [math]M_i[/math] равен [math]p_{i-1} \times p_i[/math].

Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы [math]ABCD[/math], то мы посчитаем для [math](A)(BCD)[/math], [math](AB)(CD)[/math], и [math](ABC)(D)[/math], делая рекурсивные вызовы на отрезках [math]ABC[/math], [math]AB[/math],[math]CD[/math], и [math]BCD[/math], чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.

Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех скобочных последовательностей. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета [math]ABC[/math] и [math]AB[/math]. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета [math]ABC[/math] так же требует нахождения лучшей стоимости для [math]AB[/math]. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется [math]n[/math]–ому числу Каталана, да плюс вычисление для каждой правильной скобочной последовательности затрат на перемножение (то есть [math]O(n \cdot C_n)[/math]). Так как [math]N[/math]­-ое число Каталана равняется [math] \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} [/math] или асимптотически [math] \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} [/math], а это быстро возрастающая функциия, нам бы хотелось решение, которое работает быстрее.

Оптимизация динамическим программированием

Одна из простых оптимизаций — это запоминание уже посчитанных значений. Каждый раз, когда считаем минимальную стоимость перемножения определенной подпоследовательности, давайте запоминать ответ. Если мы когда либо захотим посчитать это ещё раз, то уже будет иметь ответ и не будем пересчитывать. Поскольку существует всего [math]O(n^2)[/math] подотрезков, где [math]n[/math] — это количество матриц, то память занимаемая программой будет не так велика. С помощью запоминания ответа мы уменьшили асимптотику алгоритма (перебор) с [math]O(n \cdot C_n)[/math] до [math]O(n^3)[/math], что является достаточно эффективным для реальных приложений.

Восстановление ответа

С помощью вышеописанного алгоритма можно восстановить порядок, в котором нам необходимо перемножать матрицы, чтобы достичь минимального количества арифметических операций, затрачиваемых на вычисление ответа. Когда узнаем, как нам нужно разбить отрезок на два подотрезка, то при восстановлении ответа заключаем эти два подотрезка(последовательности матриц) в скобки и передаем получившийся ответ выше по рекурсии.

Псевдокод

int dp[][]      // dp[i][j] — ответ на отрезке [i, j)
int v[]         // Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку
                // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно
int matrixChainMultiplication(int l, int r)        // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l=0, r=n, где n-длина последовательности  
    if dp[l][r] == -1 		                   // Если значение динамики не посчитано
        if l == r - 1 
            dp[l][r] = 0	                   // Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю
        else
            dp[l][r] = [math]\infty[/math]
            for i = l + 1 to r - 1
                dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r - 1] +  matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r))
    return dp[l][r]

См. также

• Задача о наибольшей общей подпоследовательности
• Кратчайший путь в ациклическом графе
• Задача о расстановке знаков в выражении
• Aлгоритм Кока-Янгера-Касами

Источники информации

• Wikipedia — Matrix chain multiplication