Алгоритм Укконена
Алгоритм Укконена (англ. Ukkonen's algorithm) — алгоритм построения суффиксного дерева для заданной строки за линейное время.
Алгоритм за O(n3)
Рассмотрим сначала наивный метод, который строит дерево за время , где — длина исходной строки . В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы.
| Определение: |
| Неявное суффиксное дерево (англ. implicit suffix tree, IST) строки — это суффиксное дерево, построенное для строки без добавления . |
Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста . На -ой итерации неявное суффиксное дерево для префикса достраивается до для префикса . Будем спускаться от корня дерева до конца каждого суффикса префикса и дописывать к ним символ . Не стоит забывать, что является суффиксом , поэтому его тоже нужно добавить в дерево.
Алгоритм состоит из итераций так как в исходном тексте суффиксов. На каждой фазе происходит продление всех суффиксов по порядку, что требует времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма .
Замечание: Казалось бы, что можно просто добавлять все суффиксы строки в дерево по очереди, и это уже было бы . Но оптимизировать такой квадратичный алгоритм до линейного немного сложнее, хотя именно это и делает алгоритм МакКрейта. Оптимизируя описанный выше алгоритм, мы получим более простой алгоритм за .
Продление суффиксов
Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа ко всем суффиксам префикса .
| Случай | Правило | Пример |
|---|---|---|
| 1. Продление листа | Пусть суффикс заканчивается в листе. Добавим в конец подстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист. | 
|
| 2.1 Создание листа | Пусть суффикс заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу . Создадим новый лист, в который из текущей вершины ведет дуга с пометкой . | 
|
| 2.2 Ответвление | Пусть суффикс заканчивается на ребре с меткой в позиции и . Разобьем текущее ребро новой вершиной на и и подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной . | 
|
| 3. Ничего не делать | Пусть суффикс заканчивается в вершине, из которой есть путь по . Тогда ничего делать не надо. | 
|
Суффиксные ссылки
| Определение: |
| Пусть обозначает произвольную строку, где — ее первый символ, а — оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины с путевой меткой существует другая вершина с путевой меткой , то ссылка из в называется суффиксной ссылкой (англ. suffix link). |
| Лемма (Существование суффиксных ссылок): |
Для любой внутренней вершины суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину . |
| Доказательство: |
| Рассмотрим внутренную вершину с путевой меткой . Так как эта вершина внутренняя, ее путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина . По определению суффиксная ссылка вершины ведет в |
Использование суффиксных ссылок
Суффиксные ссылки используются для того, чтобы можно было быстро перейти от конца одного суффикса к концу другого, а не спускаться каждый раз от корня. Пусть мы только что продлили суффикс до суффикса . Теперь с помощью построенных ссылок найдем конец суффикса , чтобы продлить его до суффикса . Пройдем вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины , в которую ведет ребро с пометкой . У вершины есть суффиксная ссылка, так как ссылка для внутренней вершины строится внутри фазы создания этой вершины. Пусть суффиксная ссылка ведет в вершину , которой соответствует ребро с пометкой ( и могут быть не равны). Теперь пройдем от вершины вниз по дереву к концу суффикса , и сделаем продление до суффикса .
Построение суффиксных ссылок
Заметим что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Опишем процесс построения суффиксной ссылки для новой созданной внутренней вершины. Пусть в результате продления суффикса была создана новая внутренняя вершина . Не будем специально искать, куда должна указывать ссылка. Перейдем к следующему шагу текущей фазы, на котором суффикс будет увеличен до суффикса . Этот суффикс может так же оканчиваться на ребре или в уже созданной раннее внутренней вершине, в листе он, очевидно, заканчиваться не может. Тогда в первом случае будет создана новая внутренняя вершина , а во втором эта вершина уже будет существовать. Проведем суффиксную ссылку из вершины в вершину .
Оценка числа переходов
| Определение: |
| Глубиной вершины назовем число ребер на пути от корня до вершины |
| Лемма: |
При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на . |
| Доказательство: |
| Пусть мы переходим из вершины с путевой меткой по суффиксной ссылке в вершину с путевой меткой Определим множество как множество вершин на пути от корня до , исключая корень. Множество определим как множество вершин на пути от корня до , исключая корень. Если длина первого ребра на пути от корня до равна единице, то выкинем из множества вершину, в которую ведет это ребро. Итого по построению получаем: , . Теперь заметим, что суффиксная ссылка из любой вершины множества ведет в некоторую вершину множества , и очевидно суффиксные ссылки из разных вершин ведут в разные вершины, поэтому , а значит |
| Лемма: |
Число переходов по ребрам внутри фазы номер не превышает |
| Доказательство: |
| Оценим количество переходов по ребрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на . Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на (по лемме, доказанной выше). Значит в течение одной фазы вверх мы переходим не более раз. Но внутри одной фазы начальная глубина не меньше конечной (так как длины суффиксов убывают до ), поэтому вниз мы могли пройти не более ребер. Итого получаем оценку . |
Асимтотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок
Благодаря суффиксным ссылкам количество действий на одной итерации снижается с до , так как по доказанной выше лемме на каждом шаге мы делаем не более переходов. Следовательно, общая асимптотика алгоритма улучшилась до .
Линейный алгоритм
Чтобы улучшить время работы данного алгоритма до , нужно использовать линейное количество памяти, поэтому метка каждого ребра будет храниться как два числа — позиции ее самого левого и самого правого символов в исходном тексте.
| Лемма (Стал листом — листом и останешься): |
Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой (для суффикса, начинающегося в позиции строки ), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом.
|
| Доказательство: |
| Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с суффиксом , правило продолжения 1 будет применяться для продолжения на всех последующих фазах. |
| Лемма (Правило 3 заканчивает дело): |
В любой фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении , оно будет реализовываться во всех дальнейших продолжениях (от по ) до конца фазы.
|
| Доказательство: |
| При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный в текущем дереве, должен продолжаться символом , и точно так же продолжается путь, помеченный , поэтому правило 3 применяется в продолжениях |
Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила. Так как лист навсегда останется листом, зададим метку ребра ведущего в этот лист как , где — это длина исходного текста. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс . Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за .
Итоговая оценка времени работы
Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря первой лемме на каждом шаге мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за , нас интересуют только явные продления по правилу 2 и неявные продления по правилу 3. Так как всего в тексте суффиксов, то и явных продлений не может быть суммарно больше , т.е. в худшем случае, если все символы в тексте разные, будет создано листов. По второй лемме, как только мы применили 3 правило продления, так сразу завершили текущую фазу, следовательно, алгоритм делает не более неявных продлений. Таким образом, в течение всех итерация суммарно выполняется не более продлений, следовательно, с использованием всех приведенных эвристик, алгоритм Укконена работает за .
Минусы алгоритма Укконена
Не смотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьезные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике:
- Константное время на одну итерацию — это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно[1], хоть и строит дерево за , но на одну итерацию в худшем случае тратит времени.
- Существенно использует константность размера алфавита. Например, алгоритм Фарах-Колтона строит суффиксное дерево за линейное время независимо от размера алфавита.
- На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, которые превосходят алгоритм Укконена на современных процессорах[2].
- Размер суффиксного дерева превосходит входные данные в 10-60 раз, поэтому при очень больших размерах входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой memory bottleneck problem(другое ее название thrashing)[3].
- Так же алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память, а при больших размерах входных данных это может быть затруднительно, поэтому хотелось бы, чтобы дерево было загружено "частично"[4].
Реализация
struct Node
int begin
int end
int depth // расстояние от корня до до текущей вершины в символах
Node parent
Node[] children
Node suffixLink
ALPHABET = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
function buildSuffixTree(s):
int n = s.length()
byte a[n]
for i = 0..n
a[i] = indexOf(s[i]) in ALPHABET
Node root = new Node(0, 0, 0, null);
Node node = root
int tail = 0
for i = 0..n
tail++
Node last = null
while tail 0
Node ch = node.children[a[i - tail]]
while ch null && tail ch.end - ch.begin
tail -= ch.end - ch.begin
node = ch
ch = ch.children[a[i - tail]]
if ch == null
node.children[a[i]] = new Node(i, n, node.depth + node.end - node.begin, node)
if last null
last.suffixLink = node
last = null
else
byte t = a[ch.begin + tail]
if t == a[i]
if last null
last.suffixLink = node
break
else
Node splitNode = new Node(ch.begin, ch.begin + tail, node.depth + node.end - node.begin, node)
splitNode.children[a[i]] = new Node(i, n, ch.depth + tail, splitNode)
splitNode.children[t] = ch
ch.begin += tail
ch.depth += tail
ch.parent = splitNode
node.children[a[i - tail]] = splitNode
if last null
last.suffixLink = splitNode
last = splitNode
if node == root
--tail
else
node = node.suffixLink
return root
См. также
Примечания
- ↑ Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano — Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.
- ↑ Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel — Practical methods for constructing suffix trees.
- ↑ Marina Barsky — Suffix trees for very large inputs.
- ↑ Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee — A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.
Источники информации
- Дэн Гасфилд — Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.
- Юрий Лифшиц — Построение суффиксного дерева за линейное время.
- MAXimal :: algo :: Суффиксное дерево. Алгоритм Укконена
- Habrahabr — Построение суффиксного дерева: алгоритм Укконена
