Задание по КСЕ физика 3

Задание 1

[math] \vec{V}(\vec{r}) [/math] — индуцированное заданным точечным источником поле

[math] q \cdot dW = dQ [/math], где [math] q [/math] — объёмная плотность интенсивности источника.

1. [math] \phi(\vec{r}) \ - \ ? [/math] (Подсказка: использовать принцип суперпозиции)
2. [math] \vec{V} = \nabla \cdot \phi \ - \ ? [/math]
3. [math] \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? [/math]

Примечание: Кажется, что [math] \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q [/math], но так не получится верный ответ, необходимо понять почему.

Задание 2

[math] \vec{V}(\vec{r}) [/math] — индуцированное заданной вихревой областью поле

TODO: А что найти-то надо?

Подсказка к решению: Известно, что [math] \nabla \cdot \vec{V} = 0 [/math]. Из этого следует [math] \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} [/math]

[math] \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} [/math]; поскольку первое слагаемое равно [math] 0 [/math], то [math] \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} [/math]

Дальше аналогично первому заданию.