Дерево поиска, наивная реализация
Бинарное дерево поиска обладает следующим свойством: если — узел бинарного дерева с ключом , то все узлы в левом поддереве должны иметь ключи, меньшие , а в правом поддереве большие .
Операции в бинарном дереве поиска
Обход дерева поиска
Есть три операции обхода узлов дерева, отличающиеся порядком обхода узлов:
- — обход узлов в отсортированном порядке,
- — обход узлов в порядке: вершина, левое поддерево, правое поддерево,
- — обход узлов в порядке: левое поддерево, правое поддерево, вершина.
inorderTraversal(Node x)
if x != null
inorderTraversal(x.left)
print x.key
inorderTraversal(x.right)
При выполнении данного обхода вершины будут выведены в следующем порядке: 1 3 4 6 7 8 10 13 14.
preorderTraversal(Node x)
if x != null
print x.key
preorderTraversal(x.left)
preorderTraversal(x.right)
При выполнении данного обхода вершины будут выведены в следующем порядке: 8 3 1 6 4 7 10 14 13.
postorderTraversal(Node x)
if x != null
postorderTraversal(x.left)
postorderTraversal(x.right)
print x.key
При выполнении данного обхода вершины будут выведены в следующем порядке: 1 4 7 6 3 13 14 10 8
Данные алгоритмы выполняют обход за время , поскольку процедура вызывается ровно два раза для каждого узла дерева.
Поиск элемента
Для поиска элемента в бинарном дереве поиска можно воспользоваться следующей процедурой, которая принимает в качестве параметров корень дерева и искомый ключ. Для каждого узла функция сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае функция вызывается рекурсивно для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы , где — высота дерева.
Node search(Node x, key k)
if x == null or k == x.key
return x
if k < x.key
return search(x.left, k)
else
return search(x.right, k)
Поиск минимума и максимума
Чтобы найти минимальный элемент в бинарном дереве поиска, необходимо просто следовать указателям от корня дерева, пока не встретится значение . Если у вершины есть левое поддерево, то по свойству бинарного дерева поиска в нем хранятся все элементы с меньшим ключом. Если его нет, значит эта вершина и есть минимальная. Аналогично ищется и максимальный элемент. Для этого нужно следовать правым указателям.
Node minimum(Node x)
if x.left == null
return x
return minimum(x.left)
Node maximum(Node x)
if x.right == null
return x
return maximum(x.right)
Данные функции принимают корень поддерева, и возвращают минимальный (максимальный) элемент в поддереве. Обе процедуры выполняются за время .
Поиск следующего и предыдущего элемента
Реализация с использованием информации о родителе
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.
Node next(Node x)
if x.right != null
return minimum(x.right)
y = x.parent
while y != null and x == y.right
x = y
y = y.parent
return y
Node prev(Node x)
if x.left != null
return maximum(x.left)
y = x.parent
while y != null and x == y.left
x = y
y = y.parent
return y
Обе операции выполняются за время .
Реализация без использования информации о родителе
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то начнем поиск от корня. Спускаемся вниз по дереву. Если значение узла больше значения в рассматриваемом в данный момент узле, перейдем в правое поддерево, иначе перейдем в левое поддерево. Аналогично выполняется поиск предыдущего элемента. Рекурсивные реализации обеих функций:
Node next(Node x, Node t) // x - элемент, для которого ищем следующий, t - текущее поддерево
if t != null
Node successor = next(x, t.left)
if successor == null
if t.key > x.key
return t
else
return successor
return next(x, t.right)
return null
Node prev(Node x, Node t) // x - элемент, для которого ищем предыдущий, t - текущее поддерево
if t != null
Node ancestor = prev(x, t.right)
if ancestor == null
if t.key <= x.key
return t
else
return ancestor
return prev(x, t.left)
return null
Обе операции выполняются за время .
Вставка
Операция вставки работает аналогично поиску элемента, только при обнаружении у элемента отсутствия ребенка нужно подвесить на него вставляемый элемент.
insert(Node x, Node z) // x - корень поддерева, z - вставляемый элемент
if z.key > x.key
if x.right != null
insert(x.right, z)
else
z.parent = x
x.right = z
else
if x.left != null
insert(x.left, z)
else
z.parent = x
x.left = z
Время работы алгоритма — .
Удаление
Нерекурсивная реализация
Для удаления узла из бинарного дерева поиска нужно рассмотреть три возможные ситуации. Если у узла нет дочерних узлов, то у его родителя нужно просто заменить указатель на . Если у узла есть только один дочерний узел, то нужно создать новую связь между родителем удаляемого узла и его дочерним узлом. Наконец, если у узла два дочерних узла, то нужно найти следующий за ним элемент (у этого элемента не будет левого потомка) и переместить его на место удаляемого узла. Время работы алгоритма — .
| Случай | Иллюстрация |
|---|---|
| Удаление листа | 
|
| Удаление узла с одним дочерним узлом | 
|
| Удаление узла с двумя дочерними узлами | 
|
delete(Node root, Node z) // корень поддерева, удаляемый элемент
Node x, y // x - элемент, который нужно поместить вместо y
if z.left != null and z.right != null // если z имеет двух детей
y = next(z) // y - элемент, следующий за удаляемым, x - null
x = null
if y == y.parent.left
y.parent.left = null
else
y.parent.right = null
z.key = y.key // подвешиваем y вместо z
z.data = y.data
else if z.left != null or z.right != null // eсли z имеет одного ребенка
y = z // y - удаляемый элемент
if y.left != null // x - ребенок y
x = y.left
else
x = y.right
else // если z не имеет детей
y = z // y - удаляемый элемент, x - null
x = null
if x != null // подвешиваем x вместо y
x.parent = y.parent
if y.parent == null
root = x
else
if y == y.parent.left
y.parent.left = x
else
y.parent.right = x
Рекурсивная реализация
При рекурсивном удаления узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма — . Рекурсивная функция, возвращающая дерево с удаленным элементом :
Node delete(Node root, Node z) // корень поддерева, удаляемый элемент
if root == null
return root
if z.key < root.key
root.left = remove(root.left, z)
else if z.key > root.key
root.right = remove(root.right, z)
else if root.left != null and root.right != null
root.key = minimum(root.right).key
root.right = remove(root, root.right)
else
if root.left != null
root = t.left
else
root = t.right
return root
См. также
Источники информации
- Википедия — Двоичное дерево поиска
- Wikipedia — Binary search tree
- Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4
