Обсуждение участницы:Анна
Версия от 09:42, 31 мая 2015; Анна (обсуждение | вклад)
Алгоритм разделения АВЛ-дерева на два, где в первом дереве все ключи меньше заданного x, а во втором - больше
Пусть у нас есть дерево
. Мы должны разбить его на два дерева и такие, что и .Предположим, что корень нашего дерева
, в таком случае все левое поддерево вместе с корнем после разделения отойдет в дерево . Тогда рекурсивно спускаемся в правое поддерево и там проверяем это условие (так как часть правого поддерева тоже может содержать ключи ). Если же корень оказался , то мы спускаемся той же рекурсией, но только в левое поддерево и ищем там.Пусть мы пришли в поддерево
, корень которого . В таком случае этот корень со своим левым поддеревом должен отойти в дерево . Поэтому мы делаем следующее: запоминаем ссылку на правое поддерево , удаляем корень, запоминая его значение (не меняя конфигурацию дерева, то есть просто делаем ссылки на него NULL'ами). Таким образом, мы отделяем сбалансированное АВЛ-дерево (бывшее левое поддерево ). Делаем новую вершину со значением бывшего корня правым листом самой правой вершины и запускаем балансировку. Обозначим полученное дерево за . Теперь нам нужно объединить его с уже построенным ранее (оно может быть пустым, если мы первый раз нашли такое дерево ). Для этого мы ищем в дереве самое правое поддерево высоты, равной высоте (спускаясь от корня всегда в правые поддеревья). Делаем новое дерево , сливая и (очевидно, все ключи в меньше ключей в , поэтому мы можем это сделать). Теперь в дереве у отца вершины, в которой мы остановились при поиске дерева , правым поддеревом делаем дерево и запускаем балансировку. После нужно спуститься в правое поддерево бывшего дерева (по ссылке, которую мы ранее запомнили) и обработать его.Если мы пришли в поддерево
, корень которого , совершаем аналогичные действия: делаем NULL'ами ссылки на корень , запоминая ссылку на его левое поддерево. Делаем новую вершину со значением бывшего корня левым листом самой левой вершины и запускаем балансировку. Объединяем полученное АВЛ-дерево с уже построенным ранее аналогичным первому случаю способом, только теперь мы ищем самое левое поддерево .Рассмотри пример (рис. 1). Цветом выделены поддеревья, которые после разделения должны отойти в дерево
. .Корень дерева
, поэтому он со всем выделенным поддеревом должен отойти в дерево . По описанному выше алгоритму отделяем это поддерево с корнем и делаем из них сбалансированное АВЛ-дерево (рис. 2). Так как это первая ситуация, в которой корень рассматриваемого поддерева был , становится . Далее по сохраненной ссылке спускаемся в правое поддерево. Его корень . Следовательно, строим из него и его правого поддерева и спускаемся в левое поддерево. Снова корень . Строим новое и объединяем его с уже существующим (рис. 3).Далее действуем по алгоритму и в итоге получаем (рис. 4):
Данный алгоритм имеет сложность
. Рассмотрим решение, которое имеет сложность .Вернемся к примеру (рис. 1). Теперь рекурсивно спустимся вниз и оттуда будем строить деревья
и , передавая наверх корректные АВЛ-деревья. То есть для рис. 1 первым в дерево придет вершина с левым поддеревом (выделено светло-зеленым цветом), так как это корректное АВЛ-дерево, оно же и вернется из рекурсии. Далее мы попадем в вершину со значением и должны слить ее и ее левое поддерево (выделено светло-синим) с тем, что нам пришло так, чтобы передать наверх корректное АВЛ-дерево. Будем действовать по такому алгоритму, пока не дойдем до вершины.Алгоритм построения следующий: пусть мы пришли в поддерево
с корнем . Тогда сольем его с уже построенным на тот момент ( пришло снизу, а значит по условию рекурсии это корректное АВЛ-дерево, и ). Но так как обычная процедура слияния сливает два АВЛ-дерева, а не является корректным АВЛ-деревом, мы немного ее изменим.