АВЛ-дерево

АВЛ-дерево (AVL-Tree) — сбалансированное двоичное дерево поиска, в котором поддерживается следующее свойство: для каждой его вершины высота её двух поддеревьев различается не более чем на 1.

АВЛ-деревья названы по первым буквам фамилий их изобретателей, Г. М. Адельсона-Вельского и Е. М. Ландиса, которые впервые предложили использовать АВЛ-деревья в 1962 году.

Высота дерева

Теорема:

АВЛ-дерево с [math]n[/math] ключами имеет высоту [math]h = O(\log N)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Высоту поддерева с корнем [math]x[/math] будем обозначать как [math]h(x)[/math], высоту поддерева [math]T[/math] — как [math]h(T)[/math]. Лемма: Пусть [math]m_h[/math] — минимальное число вершин в AVL-дереве высоты [math]h[/math], тогда [math]m_h = F_{h+2} - 1[/math], где [math]F_h - h[/math]-ое число Фибоначчи. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Если [math]m_h[/math] — минимальное число вершин в AVL-дереве высоты [math]h[/math]. Тогда, как легко видеть, [math]m_{h+2} = m_{h+1} + m_h + 1[/math]. Равенство [math]m_h = F_{h+2} - 1[/math] докажем по индукции. База индукции [math]m_1 = F_3 - 1[/math] — верно, [math]m_1 = 1, F_3 = 2[/math]. Допустим [math]m_h = F_{h+2} - 1[/math] — верно. Тогда [math]m_{h+1} = m_h + m_{h-1} + 1 = F_{h+2} - 1 + F_{h+1} - 1 + 1 = F_{h+3} - 1[/math]. Таким образом, равенство [math]m_h = F_{h+2} - 1[/math] — доказано. [math]\triangleleft[/math] [math]F_h = \Omega(\varphi^h)[/math], [math]\varphi = \dfrac{ \sqrt{5}+1}{2}[/math]. То есть [math]n \geqslant \varphi^{h}[/math] Логарифмируя по основанию [math]\varphi[/math], получаем [math]\log_{\varphi}n \geqslant h[/math] Таким образом, получаем, что высота AVL-дерева из n вершин — [math]O(\log{n})[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Балансировка

Балансировкой вершины называется операция, которая в случае разницы высот левого и правого поддеревьев [math]|h(L) - h(R)| = 2[/math], изменяет связи предок-потомок в поддереве данной вершины так, чтобы восстановилось свойство дерева [math]|h(L) - h(R)| \leqslant 1[/math], иначе ничего не меняет. Для балансировки будем хранить для каждой вершины разницу между высотой её левого и правого поддерева [math]diff[i] = h(L) - h(R)[/math]

Для балансировки вершины используются один из 4 типов вращений:

Тип вращения	Иллюстрация	Когда используется	Расстановка балансов
Малое левое вращение (Small left rotation)		[math]diff[a] = -2[/math] и [math]diff[b] = -1[/math] или [math]diff[a] = -2[/math] и [math]diff[b] = 0[/math].	[math]diff[a] = 0[/math] и [math]diff[b] = 0[/math] [math]diff[a] = -1[/math] и [math]diff[b] = 1[/math]
Большое левое вращение (Big left rotation)		[math]diff[a] = -2[/math] , [math]diff[b] = 1[/math] и [math]diff[c] = 1[/math] или [math]diff[a] = -2[/math], [math]diff[b] = 1[/math] и [math]diff[c] = -1[/math] или [math]diff[a] = -2[/math], [math]diff[b] = 1[/math] и [math]diff[c] = 0[/math].	[math]diff[a] = 0[/math], [math]diff[b] = -1[/math] и [math]diff[c] = 0[/math] [math]diff[a] = 1[/math], [math]diff[b] = 0[/math] и [math]diff[c] = 0[/math] [math]diff[a] = 0[/math], [math]diff[b] = 0[/math] и [math]diff[c] = 0[/math]

Малый левый поворот:

   rotateleft(node a) {
       node b = a.right
       a.right = b.left
       b.left = a
       fixheight(a)
       fixheight(b)
   }

Большой правый поворот пишется проще:

   bigrotateleft(node a) {
       rotateright(a.right)
       rotateleft(a)
   }

Малое правое и большое правое вращение определяются симметрично малому левому и большому левому вращению. В каждом случае операция приводит к нужному результату, а полная высота уменьшается не более чем на [math]1[/math] и не может увеличиться.

Все операции вращения, очевидно, требуют [math]O(1)[/math] операций.

Операции

Добавление вершины

Пусть нам надо добавить ключ [math]t[/math]. Будем спускаться по дереву, как при поиске ключа [math]t[/math]. Если мы стоим в вершине [math]a[/math] и нам надо идти в поддерево, которого нет, то делаем ключ [math]t[/math] листом, а вершину [math]a[/math] его корнем. Дальше поднимаемся вверх по пути поиска и пересчитываем баланс у вершин. Если мы поднялись в вершину [math]i[/math] из левого поддерева, то [math]diff[i][/math] увеличивается на единицу, если из правого, то уменьшается на единицу. Если пришли в вершину и её баланс стал равным нулю, то это значит высота поддерева не изменилась и подъём останавливается. Если пришли в вершину и её баланс стал равным [math]1[/math] или [math]-1[/math], то это значит высота поддерева изменилась и подъём продолжается. Если пришли в вершину и её баланс стал равным [math]2[/math] или [math]-2[/math], то делаем одно из четырёх вращений и, если после вращения баланс стал равным нулю, то останавливаемся, иначе продолжаем подъём.

Так как в процессе добавления вершины мы рассматриваем не более, чем [math] O(h) [/math] вершин дерева, и для каждой запускаем балансировку не более одного раза, то суммарное количество операций при включении новой вершины в дерево составляет [math] O(\log{n}) [/math] операций.

Удаление вершины

Для простоты опишем рекурсивный алгоритм удаления. Если вершина - лист, то удалим её, иначе найдём самую близкую по значению вершину [math]a[/math], переместим её на место удаляемой вершины и удалим вершину [math]a[/math]. От удалённой вершины будем подниматься вверх к корню и пересчитывать баланс у вершин. Если мы поднялись в вершину [math]i[/math] из левого поддерева, то [math]diff[i][/math] уменьшается на единицу, если из правого, то увеличивается на единицу. Если пришли в вершину и её баланс стал равным [math]1[/math] или [math]-1[/math], то это значит, что высота этого поддерева не изменилась и подъём можно остановить. Если баланс вершины стал равным нулю, то высота поддерева уменьшилась и подъём нужно продолжить. Если баланс стал равным [math]2[/math] или [math]-2[/math], следует выполнить одно из четырёх вращений и, если после вращений баланс вершины стал равным нулю, то подъём продолжается, иначе останавливается.

В результате указанных действий на удаление вершины и балансировку суммарно тратится, как и ранее, [math] O(h) [/math] операций. Таким образом, требуемое количество действий — [math] O(\log{n}) [/math].

Поиск вершины, минимум/максимум в дереве, etc.

Остальные операции не меняют структуры дерева, поэтому выполняются так же, как и в наивной реализации дерева поиска.

Слияние двух AVL-деревьев

Дано два дерева [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math], все ключи в [math]T_1[/math] меньше ключей в [math]T_2[/math], [math]h(T_1) \leqslant h(T_2)[/math].

В дереве [math]T_1[/math] удаляем самую правую вершину, назовём её [math]b[/math]. Высота дерева [math]T_1[/math] может уменьшиться на единицу. В дереве [math]T_2[/math] идём от корня всегда в левое поддерево и, когда высота этого поддерева [math]P[/math] будет равна высоте дерева [math]T_1[/math], делаем новое дерево [math]S[/math], корнем [math]S[/math] будет вершина [math]b[/math], левым поддеревом будет дерево [math]T_1[/math], а правым дерево [math]P[/math]. Теперь в дереве [math]T_2[/math] у вершины, в которой мы остановились при спуске, левым поддеревом делаем дерево [math]S[/math] и запускаем балансировку. Таким образом, дерево [math]T_2[/math] будет результатом слияния двух АВЛ-деревьев.

Дерево [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] до слияния

Дерево [math]T_2[/math] после слияния

Алгоритм разделения AVL-дерева на два

Алгоритм первый

Пусть у нас есть дерево [math]T[/math]. Мы должны разбить его на два дерева [math]T_{1}[/math] и [math]T_{2}[/math] такие, что [math]T_{1} \leqslant x[/math] и [math]x \lt T_{2}[/math].

Предположим, что корень нашего дерева [math]\leqslant x[/math], в таком случае все левое поддерево вместе с корнем после разделения отойдет в дерево [math]T_{1}[/math]. Тогда рекурсивно спускаемся в правое поддерево и там проверяем это условие (так как часть правого поддерева тоже может содержать ключи [math]\leqslant x[/math]). Если же корень оказался [math]\gt x[/math], то мы спускаемся той же рекурсией, но только в левое поддерево и ищем там.

Пусть мы пришли в поддерево [math]S[/math], корень которого [math]\leqslant x[/math]. В таком случае этот корень со своим левым поддеревом должен отойти в дерево [math]T_{1}[/math]. Поэтому мы делаем следующее: запоминаем ссылку на правое поддерево [math]S[/math], удаляем корень, запоминая его значение (не меняя конфигурацию дерева, то есть просто делаем ссылки на него NULL'ами). Таким образом, мы отделяем сбалансированное АВЛ-дерево (бывшее левое поддерево [math]S[/math]). Делаем новую вершину со значением бывшего корня правым листом самой правой вершины [math]S[/math] и запускаем балансировку. Обозначим полученное дерево за [math]T'[/math]. Теперь нам нужно объединить его с уже построенным ранее [math]T_{1}[/math] (оно может быть пустым, если мы первый раз нашли такое дерево [math]S[/math]). Для этого мы ищем в дереве [math]T_{1}[/math] самое правое поддерево [math]P[/math] высоты, равной высоте [math]T'[/math] (спускаясь от корня всегда в правые поддеревья). Делаем новое дерево [math]K[/math], сливая [math]P[/math] и [math]T'[/math] (очевидно, все ключи в [math]T_{1}[/math] меньше ключей в [math]T'[/math], поэтому мы можем это сделать). Теперь в дереве [math]T_{1}[/math] у отца вершины, в которой мы остановились при поиске дерева [math]P[/math], правым поддеревом делаем дерево [math]K[/math] и запускаем балансировку. После нужно спуститься в правое поддерево бывшего дерева [math]S[/math] (по ссылке, которую мы ранее запомнили) и обработать его.

Если мы пришли в поддерево [math]Q[/math], корень которого [math]\gt x[/math], совершаем аналогичные действия: делаем NULL'ами ссылки на корень [math]Q[/math], запоминая ссылку на его левое поддерево. Делаем новую вершину со значением бывшего корня левым листом самой левой вершины [math]Q[/math] и запускаем балансировку. Объединяем полученное АВЛ-дерево с уже построенным ранее [math]T_{2}[/math] аналогичным первому случаю способом, только теперь мы ищем самое левое поддерево [math]T_{2}[/math].

Рассмотри пример (рис. 1). Цветом выделены поддеревья, которые после разделения должны отойти в дерево [math]T_{1}[/math]. [math]x = 76[/math].

Рис. 1. Разделение АВЛ-дерева на два.

Корень дерева [math]\leqslant x[/math], поэтому он со всем выделенным поддеревом должен отойти в дерево [math]T_{1}[/math]. По описанному выше алгоритму отделяем это поддерево с корнем и делаем из них сбалансированное АВЛ-дерево [math]T'[/math] (рис. 2). Так как это первая ситуация, в которой корень рассматриваемого поддерева был [math]\leqslant x[/math], [math]T'[/math] становится [math]T_{1}[/math]. Далее по сохраненной ссылке спускаемся в правое поддерево. Его корень [math]\gt x[/math]. Следовательно, строим из него и его правого поддерева [math]T_{2}[/math] и спускаемся в левое поддерево. Снова корень [math]\leqslant x[/math]. Строим новое [math]T'[/math] и объединяем его с уже существующим [math]T_{1}[/math] (рис. 3).

Рис. 2. Создание T'.

Рис. 3. Объединение T' и T1.

Далее действуем по алгоритму и в итоге получаем (рис. 4):

Рис. 4. АВЛ-деревья после разделения.

Данный алгоритм имеет сложность [math]O(\log^{2} n)[/math].

Алгоритм второй

Рассмотрим решение, которое имеет сложность [math]O(\log{n})[/math].

Вернемся к примеру (рис. 1). Теперь рекурсивно спустимся вниз и оттуда будем строить деревья [math]T_{1}[/math] и [math]T_{2}[/math], передавая наверх корректные АВЛ-деревья. То есть для рис. 1 первым в дерево [math]T_{1}[/math] придет вершина [math]75[/math] с левым поддеревом (выделено светло-зеленым цветом), так как это корректное АВЛ-дерево, оно же и вернется из рекурсии. Далее мы попадем в вершину со значением [math]70[/math] и должны слить ее и ее левое поддерево (выделено светло-синим) с тем, что нам пришло. И сделать это нужно так, чтобы передать наверх корректное АВЛ-дерево. Будем действовать по такому алгоритму, пока не дойдем до вершины.

Пусть мы пришли в поддерево [math]S[/math] с корнем [math]\leqslant x[/math]. Тогда сольем его с уже построенным на тот момент [math]T_{1}[/math] ([math]T_{1}[/math] пришло снизу, а значит по условию рекурсии это корректное АВЛ-дерево, [math]S \leqslant T_{1}[/math] и [math]h(T_{1}) \leqslant h(S)[/math]). Но так как обычная процедура слияния сливает два АВЛ-дерева, а [math]S[/math] не является корректным АВЛ-деревом, мы немного ее изменим. Пусть мы в дереве [math]S[/math] нашли самое правое поддерево [math]K[/math], высота которого равна высоте [math]T_{1}[/math]. Тогда сделаем новое дерево [math]T'[/math], корнем которого будет вершина [math]S[/math] (без нее это дерево является сбалансированным), правым поддеревом — [math]T_{1}[/math], левым — [math]K[/math]. И подвесим [math]T'[/math] на то место, где мы остановились при поиске [math]K[/math]. Запустим балансировку. В случае, когда корень поддерева, в которое мы пришли, [math]\gt x[/math], все аналогично.

Разберем пример на рис. 1. Пусть мы рекурсивно спустились до узла [math]77[/math]. Ключ больше [math]x[/math], поэтому эта вершина станет деревом [math]T_{2}[/math] и передастся наверх. Теперь мы поднялись в узел [math]75[/math]. Он со своим левым поддеревом станет деревом [math]T_{1}[/math] и мы снова поднимемся наверх в узел [math]70[/math]. Он со своим левым поддеревом снова должен отойти в дерево [math]T_{1}[/math], и так как теперь дерево [math]T_{1}[/math] уже не пустое, то их надо слить. После слияния по описанному выше алгоритму получим (рис. 5)

Рис. 5.

После мы поднимемся в вершину с ключом [math]80[/math]. Она с правым поддеревом отойдет в дерево [math]T_{2}[/math] (рис. 6).

Рис. 6.

И на последней итерации мы поднимемся в корень дерева с ключом [math]50[/math], он с левым поддеревом отойдет в дерево [math]T_{1}[/math], после чего алгоритм завершится.

Пусть поддеревьев с ключами [math]\leqslant x[/math] оказалось больше, чем поддеревьев с ключами [math]\gt x[/math]. Докажем для них логарифмическую асимптотику. Дерево на последнем уровне имеет высоту [math]H_{k}[/math] (она может быть не равна [math]1[/math], если мы придём в [math]x[/math]). Его мы передаем наверх и вставляем в поддерево высотой [math]H_{k-1}[/math]. [math]H_{k} \leqslant H_{k-1}[/math], так как разница высот поддеревьев у любой вершины не больше [math]1[/math], и мы при переходе от [math]H_{k}[/math] к [math]H_{k-1}[/math] поднимаемся как минимум на одну вершину вверх. Слияние этих поддеревьев мы выполним за [math]H_{k-1} - H_{k}[/math], получим в итоге дерево высоты не большей, чем [math]H_{k-1}[/math]. Его мы передадим наверх, поэтому в следующий раз слияние будет выполнено за [math]H_{k-2} - H_{k - 1}[/math] и так далее. Таким образом мы получим [math](H - H_{1}) + (H_{1} - H_{2}) + (H_{2} - H_{3}) + \cdots + (H_{k - 1} - H_{k}) = H - H_{k} = O(\log{n})[/math].

Итоговая асимптотика алгоритма — [math]O(\log{n})[/math].

Источники информации

• Habrahabr — АВЛ-деревья
• Википедия — АВЛ-дерево