Хеш-таблица

Хеш-табли́ца (англ. hash-table) — структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. В отличие от деревьев поиска, реализующих тот же интерфейс, обеспечивают меньшее время отклика в среднем. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.

Введение

Существует два основных вида хеш-таблиц: с цепочками и открытой адресацией. Хеш-таблица содержит некоторый массив [math]H[/math], элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица с цепочками).

Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Хеш-код [math]i = h(key)[/math] играет роль индекса в массиве [math]H[/math], а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).

Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения. При вставке в хеш-таблицу вероятность коллизии в общем случае превышает 50% (при равномерном распределении значений хеш-функции). Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.

Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с прямой адресацией; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за [math]O(1)[/math].

Если мы поделим число хранимых элементов на размер массива [math]H[/math] (число возможных значений хеш-функции), то узнаем коэффициент заполнения хеш-таблицы (англ. load factor). От этого параметра зависит среднее время выполнения операций.

Хеширование

Хеширование — класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за [math]O(1)[/math]). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций. Для того чтобы коллизии не замедляли работу с таблицой существуют методы для борьбы с ними.

Определение:

[math]U [/math] — множество объектов (универсум). [math]h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 \dots m - 1 \mathcal {g}[/math] — называется хеш-функцией, где множество [math]S[/math] хранит ключи из множества [math]U[/math]. Если [math]x \in U[/math] значит [math]h(x) \in S[/math] Коллизия: [math]\exists x \neq y : h(x) = h(y)[/math]

Виды хеширования

• По способу хранения:
  • Статическое — фиксированное количество элементов. Один раз заполняем хеш-таблицу и осуществляем только проверку на наличие в ней нужных элементов.
  • Динамическое — добавляем, удаляем и смотрим на наличие нужных элементов.
• По виду хеш-функции:
  • Детерминированная хеш-функция.
  • Случайная хеш-функция.

Свойства хеш-таблицы

На поиск элемента в хеш-таблице в худшем случае, может потребоваться столько же времени, как и в списке, а именно [math]\Theta(n)[/math], но на практике хеширование более эффективно. При некоторых разумных допущениях математическое ожидание времени поиска элемента в хеш-таблице составляет [math]O(1)[/math]. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время [math]O(1)[/math]. При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо перехешировать таблицу: увеличить размер массива [math]H[/math] и заново добавить в новую хеш-таблицу все пары.

Лемма:

Вероятность коллизий при вставке в хеш-таблицу превышает 50%

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть хеш-таблица имеет размер [math]len[/math] и в нее добавляют [math]n[/math] элементов. Рассмотрим [math]{p}'(n)[/math] - вероятность того, что не возникнет ни одной коллизии. Добавим два любых элемента в нашу хеш-таблицу. Вероятность того, что они не попадут в одну и ту же ячейку таблицы равна [math]1 - \frac{1}{len}[/math]. Возьмем еще один элемент. Тогда вероятность того, что третий элемент не попадет в одну из уже занятых ячеек равна [math]1 - \frac{2}{len}[/math]. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу: [math]{p}'(n) = \left( 1 - \frac{1}{len}\right )\cdot \left( 1 - \frac{2}{len}\right )\dots\left( 1 - \frac{n - 1}{len}\right ) = \frac{len \cdot \left(len - 1 \right )\dots\left (len - n + 1 \right )}{len^{n}} = \frac{len!}{len^{n} \cdot \left (len - n \right)!}[/math] Тогда [math]{p}(n)[/math] - вероятность возникновения коллизии равна: [math]p(n) = 1 - {p}'(n)[/math], что в общем случае [math] \gt \frac{1}{2}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Хеширование в современных языках программирования

Почти во всех современных языках присутствуют классы, реализующие хеширование. Рассмотрим некоторые из них.

• Java
  • HashMap — реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
  • HashSet — реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы,
  • LinkedHashMap — потомок класса HashMap. Позволяет просматривать значения в том порядке, в котором они были добавлены.
• C++
  • hash_map — реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
  • hash_set — реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.

Источники информации

• Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» — «Вильямс», 2011 г. — 1296 стр. — ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
• Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» — «Вильямс», 2007 г. — 824 стр. — ISBN 0-201-89685-0
• Хеш-таблица — Википедия