Участник:Iloskutov/Матан 4сем

Определения

Условие L_loc

Определение:

и - суммируемая, что
Тогда удовлетворяет в точке

Образ меры при отображении

Определение:

Пусть

- мера

- образ меры при отображении

Взвешенный образ меры

Определение:

[math]w \geqslant 0[/math] - измеримая на [math]X[/math] функция

Тогда - взвешенный образ при отображении , - вес

Плотность одной меры по отношению к другой

Определение:

[math]w \geqslant 0[/math] - вес, измерим на [math]X[/math], [math]f[/math] - изм. на [math]X[/math]

- плотность относительно

Заряд

Определение:

не обязательно и обладает свойством счётной аддитивности
- заряд

Множество положительности заряда

Определение:

(заряд неотрицателен)
- множество положительности

Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере

Определение:

- абсолютно непрерывная по отношению к мере

Произведение мер

Определение:

[math]X \times Y[/math] - декартово произведение,

- произведение мер в

Сечение множества

Определение:

Пусть

- сечение [math]C[/math] по [math]X[/math]

- сечение по

Функция распределения

Определение:

- конечно

- функция распределения

Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского

Теорема (Гёльдер):

— пространство с мерой; . Тогда

Теорема (Минковский):

Пусть — пространство с мерой, и функции . Тогда , и более того:

.

Интеграл комплекснозначной функции

Теорема:

[math](X, \mathfrak A, \mu)[/math]. Тогда:

[math]f[/math] — изм., если — изм.
[math]f[/math] — сумм., — сумм.

Пространство $L^p(E,\mu)$

Определение:

— множество измеримых функций, почти везде конечных на .

Определение:

.

Пространство $L^\infty(E,\mu)$

Определение:

Существенный супремум

Определение:

при почти всех

Фундаментальная последовательность, полное пространство

Определение:

Последовательность называется фундаментальной в , если при , т.е.

при .

Плотное множество

Определение:

— метрическое пространство.

[math]A \subset X[/math] — (всюду) плотно в [math]X[/math], если для любого открытого мн-ва .

Или, эквивалентно, любой шар содержит точки из .

Финитная функция

Определение:

— финитная в , если она равна нулю вне некоторого шара.

Гильбертово пространство

Определение:

— полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.

Определение:

— гильбертово пространство:

— ортогональный ряд, если

Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры

Определение:

Система векторов называется ортогональной, если

Определение:

Если к тому же — тогда ортонормированная система

Пример:

Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система

Пример:

— ортогональная система. — ортонормированная система в

Пример:

— ортонормированная система в над

Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве

Коэффициенты Фурье, ряд Фурье

Определение:

, тогда — коэффициенты Фурье для , а ряд — ряд Фурье

Базис, полная, замкнутая ОС

Определение:

[math]\{e_k\}[/math] — ОС — базис, если
[math]\{e_k\}[/math] — ОС — полная в [math]H[/math], если
— уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости).
Если [math]\forall x[/math] выполнено уравнение замкнутости, то [math]\{e_k\}[/math] — замкнутая ОС.

Тригонометрический ряд

Определение:

— тригонометрический полином степени .

Определение:

— тригонометрический ряд.

Коэффициенты Фурье функции

Ядро Дирихле, ядро Фейера

Определение:

— ядро Дирихле,
— ядро Фейера

Свёртка

Определение:

— свёртка.

Аппроксимативная единица

Определение:

— пред. точка .

[math]\forall h \in D[/math] определена функция [math]K_h(x)[/math], удовлетворяющая свойствам:

L-нормы [math]K_h[/math] огр. в свк.:

Тогда семейство называется аппроксимативной единицей.

Усиленная аппроксимативная единица

Определение:

Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:

Тогда — усиленная аппроксимативная единица.

Метод суммирования средними арифметическими

Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3

Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3

Поверхностный интеграл первого рода

Определение:

Кусочно-гладкая поверхность в R^3

Определение:

называется кусочно-гладкой, если представляет собой объединение:

конечного числа простых гладких поверхностей
конечного числа простых гладких дуг
конечного числа точек

Сторона поверхности

Определение:

Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности

Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов

Определение:

Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности

Определение:

Поле реперов , если — касательный репер

Определение:

Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:

Интеграл II рода

Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности

Ротор, дивергенция векторного поля

Определение:

Пусть — гладкое векторное поле в некоторой области . Тогда

Соленоидальное векторное поле

Определение:

— соленоидальное, если существует векторный потенциал , т.е. .

Теоремы

Теорема об интегрировании положительных рядов

Теорема:

измеримые функции на при всех . Тогда

Абсолютная непрерывность интеграла

Теорема:

суммируемая функция

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере

Теорема:

по мере

[math]\exists g[/math] - суммируемая и для почти всех [math]x[/math]

Тогда - суммируемые и

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

Теорема:

почти везде

[math]\exists g[/math] - суммируемая и для почти всех [math]x[/math]

Тогда суммируемые и

Теорема Фату

Теорема:

почти везде на , и
Тогда

Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру

Теорема:

- имеет смысл и выполнены 2 условия:

[math]f[/math] удовлетворяет условию [math]L_{loc}(y_0)[/math]
[math] y \rightarrow f(x, y)[/math] - непрерывна при всех [math]x[/math]
при [math]y \to y_0[/math] при всех [math]x[/math]
Тогда непрерывна в [math]y_0[/math]

Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

Теорема:

- промежуток

- суммируема,
[math]\forall y[/math] при всех
[math]y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)[/math] удовлетворяет условию [math]L_{loc}(y0)[/math]
Тогда

Вычисление интеграла Дирихле

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

Теорема:

[math] w \geqslant 0 [/math] - измеримая на [math]X[/math] функция

- взвешенный образ [math]\mu[/math] при отображении [math]\phi, w [/math] - вес

Тогда:

Критерий плотности

Теорема:

- измеримые,
- плотность относительно

Лемма о множествах вполне положительности заряда

Теорема:

- множество положительности
Тогда - множество положительности:

Теорема Радона — Никодима

Теорема (Радон, Никодим):

— пространство с мерой, — конечные меры, причём абсолютно непрерывна относительно .

Тогда [math]\exists ! f[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math]

— плотность относительно .

Доказательство:

Лемма:

— сумм. отн. .

Хз если честно((99

Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости

Теорема:

- диффиренцируема в

Пусть - мера Лебега на [math]\mathbb{R}^m[/math]
Тогда [math]] U(a) \quad \forall[/math] куба [math]Q \in U(A), a \in Q[/math]

Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме

Теорема:

- диффеоморфизм
Тогда

Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега

Теорема:

— диффеоморфизм

Пусть — измерима на [math]O_1[/math]

Тогда

Теорема о произведении мер

Теорема:

Принцип Кавальери

Теорема:

- сигма конечные, полные;

[math]C[/math] измеримо в
Тогда:

[math]C_x - \mu[/math] — измерима при всех [math]x[/math]
[math]x \to \nu(x)[/math] измерима при всех [math]x[/math]

Аналогично для

Теорема Тонелли

Теорема:

- сигма конечные, полные;

измеримая, [math]f_x := y \to f(x, y)[/math]
Тогда:

[math]f_x - v[/math]-измерима при почти всех [math]x[/math]
[math]f_y - \mu[/math]-измерима при почти всех [math]y[/math]
- [math] \mu[/math]-измеримая функция

Формула для Бета-функции

Теорема:

Доказательство:

Вычислим интеграл

С одной стороны, [math]I(u, v) = I(u) \cdot I(v)[/math], где

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:

Сделаем замену [math]\cos^2 \varphi = t[/math]:

Составляя два выражения для , получим

Теорема Фубини

Теорема:

- сигма конечные, полные;

— сумм. Тогда:

[math]C_x[/math] — суммируема при всех [math]x[/math]
сумм при всех [math]x[/math]
[math]\int f d\nu = \int q d\mu[/math]

Аналогично для

Объем шара в R^m

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой)

Лемма:

— измерима, почти везде конечна

[math]H[/math] — функция распределения: [math]H(t) = \mu X (h \lt t)[/math]
[math]\nu = h(\mu)[/math], т.е. [math]\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))[/math]
[math]\mu_H[/math] — мера Бореля-Стилтьеса от [math]H[/math]

Тогда на (Борелевской сигма-алгебре)

Доказательство:

Теорема:

измерима относительно

Остальное из прошлой леммы

Тогда:

Доказательство:

Ну тут тип просто замена в интеграле)))

Теорема о вложении пространств L^p

Теорема:

[math]\mu(X) \lt +\infty[/math]

, тогда [math]L^r \subset L^s[/math]

Доказательство:

Напрямую следует из 2
Пусть
[math] \dfrac{r}{s} = p \gt 1[/math]
[math] q = \dfrac{r}{r - s}[/math]
Тогда: (По Гельдеру)

Полнота L^p

Теорема:

— полное

Доказательство:

[math]f_n[/math] — фундамтельная в [math]L^p[/math]
Строим кандидата на роль предела:

Очевидно, что

Рассмотрим

Т.е.
При всех [math]x \quad S_N(x) \to S(x)[/math]

По теореме Фату , т.е. [math]|S(x)|^p[/math] - суммируема
Значит [math]|S(x)|[/math] почти везде конечна. [math] \Rightarrow [/math] Ряд абсолютно сходится при почти всех [math]x[/math].

При всех
— конечна
[math]\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?[/math]

Возьмём [math]m:=N_k \gt N[/math]

По теореме Фату:

Плотность в L^p множества ступенчатых функций

Теорема:

ступенчатая

[math]X = \bigsqcup X_k[/math]

[math]\mu X (f \neq 0) -[/math] конечно

в множество ступенчатых функций плотно

Доказательство:

Поправив [math]f[/math] на множестве нулевой меры, получим
[math]f[/math] — изм. огр.,
— есть ли здесь ступ. ф-ия?
ступ.

(по т. Лебега).

Лемма Урысона

Теорема:

два непересекающихся замкнутых множества из
Тогда (непрырывная)

Доказательство:

[math]\forall[/math] замкн. [math]F[/math] и [math]\forall[/math] откр. [math]G \supset F[/math] [math]\exists[/math] откр. .
[math]\exists U(F_0), U(F_1)[/math] — откр.:

Аналогично можно ввести [math]G_{1/4}, G_{3/4}[/math] и так далее [math]G_{\alpha}[/math] для любого двоично-рационального [math]\alpha \in [0; 1][/math].

— дв. рац. [math] \}[/math] — непр.

— дв. рац.

Плотность в L^p непрерывных финитных функций

Теорема:

всюду плотно в

Теорема о непрерывности сдвига

Теорема:

[math]f[/math] - равномерно непрерывна на

Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве

Теорема:

Пусть есть ГП

[math]x_n \to x, y_n \to y \quad[/math] Тогда
ряд, сходящийся в ГП. Тогда
ортогональный ряд. Тогда сходится сходится.

Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе

Теорема:

ГП

[math]\{e_k\} - [/math] Ортогональная система.

Тогда:

[math]\{e_k\} - [/math] ЛНЗ
[math]C_k \cdot e_k - [/math] это проекция [math]X[/math] на 1-номерное подпространство, порождённое [math]e_k[/math].

Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема:

Ортогональная система в

частичные суммы ряда Фурье

Тогда:

[math]S_n - [/math] проекция [math]x[/math] на [math]\alpha_n[/math]
[math]S_n - [/math] элемент наилучшего приближения (в [math]\alpha_n[/math]) для [math]x[/math]

Следствие:

(Неравенство Бесселя)

Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля

Теорема:

Ортогональная система в

Ряд Фурье [math]x[/math] сходится в [math]\mathcal{H}[/math]
тогда
(Равенство Парсеваля)

Теорема о характеристике базиса

Теорема:

— ОС в . Тогда экв.:

[math]\{e_k\}[/math] — базис
Выполняется обобщённое уравнение замкнутости:
[math]\{e_k\}[/math] — замкнута
[math]\{e_k\}[/math] — полная
[math]Lin(e_1 e_2 \dots)[/math] — плотно в [math]H[/math]

Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда

Теорема:

тригонометрический ряд, частичные суммы

Пусть в пространстве [math]L^1[/math]

Тогда:

Теорема Римана — Лебега

Теорема:

— измеримо,
Тогда (То же самое можно и с и вместо )

Принцип локализации Римана

Теорема:

[math]f(x) = g(x) [/math] при

Тогда

Признак Дини. Следствия

Теорема:

Пусть

Тогда

Корректность определения свертки

Теорема:

Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q

Теорема:

Тогда [math]f * k[/math] - непрерывна на [math][-\pi, \pi][/math]

Теорема о свойствах аппроксимативной единицы

Теорема:

— аппроксимативная единица.

Тогда [math](h \to h_0)[/math]:

[math]f \in L^1, f[/math] — непр. [math]x_0 \quad K_n - [/math] ??? а.е.

[math]f * K_n[/math] — непрерывна в окрестности [math]x_0[/math]

Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических

Теорема:

(по методу средних арифметических)

Доказательство:

[math]\sum a_n [/math] (по методу средних арифметических)

Теорема Фейера

Теорема:

3 пункта:

[math] f \in L^1, f - [/math] непр.

Полнота тригонометрической системы

Теорема:

Тригонометрическая система полна в (Следствие теоремы Фейера)

Формула Грина

Теорема:

— ориент. с помощью нумерации координат.

[math]D \subset \mathbb R^2[/math] — компактное, связное, односвязное, с [math]C^2[/math]-гладкой границей.
[math](P, Q)[/math] — гладкое векторное поле.
Пусть граница [math]D (\partial D)[/math] ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.

Тогда

Формула Стокса

Теорема:

— простая гладкая поверхность в ,

[math]\partial D[/math] — [math]C^2[/math]-гладкая кривая,
[math]n_0[/math] — сторона поверхности; ориентированы согласованно с [math]\partial D[/math]
[math](P,Q,R)[/math] — гладкое векторное поле на [math]D[/math]. Тогда:

Формула Гаусса — Остроградского

Теорема:

Бескоординатное определение ротора

Теорема:

Бескоординатное определение дивергенции

Теорема:

Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции

Теорема: