О нелинейных операторных уравнениях

Эта статья находится в разработке!

Ранее мы рассматривали уравнения вида , где [math] y [/math] дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать [math] \sigma(\mathcal{A}) [/math].

Сложнее, когда задано уравнение вида [math]\mathcal{T}(x) = 0[/math] или [math]\mathcal{T}(x) = x[/math], где — произвольный оператор из [math] X [/math] в [math] X [/math].

В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.

Простые итерации

Решаем уравнение [math] x = \mathcal{T}(x) [/math]. Составляем последовательность и изучаем сходимость последовательности .

Если [math] \mathcal{T} [/math] — непрерывный оператор, то и, по единственности предела, получаем [math] x^* = \mathcal{T} x^* [/math].

Во втором семестре у нас было определение производной Фреше: . [math] \mathcal{T}'_x [/math] — линейный ограниченный оператор.

Теорема (Локальная теорема о простой итерации):

Пусть известно, что существует и .

Тогда существует такой шар [math] V_{\delta} (\overline x) [/math], что если , то:

Метод простых итераций корректно определен: .
[math] x_n \to \overline x [/math]

Доказательство:

Положим .

В силу определения производной Фреше существует .

Убедимся в том, что такая [math] \delta [/math] подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:

Предположим, что .

.

Рассмотрим первое слагаемое: , а значит, .

Второе слагаемое:

Складывая полученное: .

Окончательно мы получили, что , то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что , то есть .

Метод Ньютона-Канторовича

Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида — непрерывный оператор из [math] X [/math] в [math] X [/math], [math]X[/math]— нормированное пространство.

Предположим, что . Получим схему метода Ньютона-Канторовича.

[math] x_0 [/math] — начальное приближение.

. Обрежем последнюю часть: .

Обозначим .

Домножим равенство с обеих сторон на [math] \Gamma(x_0) [/math]:

.

Теперь положим и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции

Покажем, что , то есть [math] q = 0 [/math] из условия локальной теоремы о простой итерации.

Утверждение:

Запишем через значение :

, откуда .

Подставим это равенство в выражение выше:

.

Итого: , откуда

Теорема Шаудера

Рассмотрим другую идею решения [math] \mathcal{T} x = x [/math]. Оно основывается на том факте, что если функция [math] f [/math] отображает отрезок [math] [a, b] [/math] в себя, то существует такая точка [math] c \in [a, b] : c = f(c) [/math].

Обобщение этого факта для [math] \mathbb{R}^n [/math] называется теоремой Брауэра:

Теорема (Брауэр, о неподвижной точке):

Пусть — ограниченное выпуклое замкнутое подмножество , непрерывно отображает в себя. Тогда .

Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:

Определение:

Пусть — B-пространство, — ограничено в . — непрерывное отображение . Говорят, что вполне непрерывно на , если — относительно компактно в .

Теорема (Шаудер, о неподвижной точке):

Пусть — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства и вполне непрерывно отображает в себя. Тогда .

Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.

Вспомогательные факты

Утверждение (Факт Первый):

Рассмотрим — последовательность вполне непрерывных операторов на , (). Тогда вполне непрерывен на .

по равномерной сходимости, .

По предположению, [math] \mathcal{T}_{n_0} [/math] — вполне непрерывный: существует конечная [math] \varepsilon [/math]-сеть [math] y_1, \hdots, y_p [/math] для [math] \mathcal{T}_{n_0}(D) [/math].

. Рассмотрим и подберем такое [math] y_j [/math], что .

. Первое слагаемое [math] \le \varepsilon [/math] по выбору [math] n_0 [/math] и равномерной сходимости. Второе слагаемое [math] \le \varepsilon [/math] по выбору [math] y_j [/math] из [math] \varepsilon [/math]-сети.

Окончательно, . Значит, мы получили -сеть для .

Утверждение (Факт Второй):

Рассмотрим — последовательность вполне непрерывных операторов на , . Тогда множество относительно компактно.

По равномерной сходимости, .

Рассмотрим множество . Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств.

рассмотрим [math] \varepsilon [/math]-сеть для этого множества: [math] y_1, \hdots, y_p [/math].

Рассмотрим . Проверим, что [math] y_1, \hdots, y_p [/math] — [math] k \varepsilon [/math]-сеть для этого множества, где число [math] k [/math] определим позже.

Возьмем произвольный .

Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами [math] y [/math]. Пусть, для начала, [math] y \in \mathcal{T}_n(D) [/math].

Если [math] n \le n_0 [/math], то .

Пусть .

[math] \| y - y_j \| [/math]

.

Первые два слагаемых [math] \le \varepsilon [/math] по равномерной сходимости, третье [math] \le \varepsilon [/math] по выбору [math] \varepsilon [/math]-сети для [math] n_0 [/math].

Аналогичную оценку получаем, если [math] y \in \mathcal{T}(D) [/math].

В итоге, получили, что — -сеть для .

Проекторы Шаудера

Основная идея данного доказательства — построение проекторов Шаудера.

[math] \mathcal{T} [/math] — вполне непрерывен на ограниченном [math] D [/math], [math] M = \mathcal{T}(D) [/math] — относительно компактно.

— конечная [math] \varepsilon [/math]-сеть.

Построим следующую функцию:

Легко проверить, что для любого [math] j [/math] функция [math] \mu_j [/math] непрерывна на [math] M [/math]. TODO: Легко? Так давайте сделаем это.

Поскольку [math] \{ y_j \} [/math] — [math] \varepsilon [/math]-сеть, то [math] \forall y [/math] все [math] \mu_j(y) [/math] не могут быть равны нулю одновременно.

Обозначим . По предыдущему утверждению, [math] \forall y: S(y) \gt 0 [/math]

Определение:

— проектор Шаудера.

Коэффициенты [math] \frac {\mu_j(y)} {S(y)} [/math] обозначим за [math] \alpha_j(y) [/math]. Из определения следует, что , то есть, [math] P_\varepsilon(y) [/math] есть выпуклая комбинация точек [math] \varepsilon [/math] сети для любого [math] y [/math].

Если [math] M = \mathcal{T}(D) [/math] — выпуклое множество, то [math] P_\varepsilon(y) \in M [/math], как выпуклая комбинация точек [math] y_1, \hdots, y_p [/math].

Рассмотрим .

Если , то [math] \alpha_j(y) = 0 [/math], поэтому, продолжая цепочку неравенств, .

Получили, что , когда [math] \varepsilon \to 0 [/math].

Каждый из операторов конечномерен: .

По неравенству, полученному чуть выше, также имеем .

В итоге мы имеем следующую теорему:

Теорема:

Проекторы Шаудера оператора равномерно сходятся к : , то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.

Соединяя с теоремой Брауэра, получим:

[math] M [/math] — выпуклое ограниченное множество, оператор [math] \mathcal{T} : M \to M [/math] является вполне ограниченным.

Определим последовательность . , где [math] M_n [/math] — конечномерное пространство.

Применяя теорему Брауэра, получаем, что .

Учитывая, что [math] M_1 \cup M_2 \cup \hdots [/math] относительно компактно, из [math] \{ x_n \} [/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность: .

.

По выбору [math] x_{n_k} [/math]: .

По равномерной сходимости : , начиная с [math] k_0 [/math] для всех [math] x \in M [/math].

Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен [math] 0 [/math], и , и [math] x^* = \mathcal{T} x^* [/math]. Теорема Шаудера доказана.

О нелинейных операторных уравнениях

Простые итерации

Метод Ньютона-Канторовича

Теорема Шаудера

Вспомогательные факты

Проекторы Шаудера

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты