Материал из Викиконспекты
Определения
| Определение: |
| Соотношение вида [math]F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)[/math] называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). |
| Определение: |
| Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения. |
| Определение: |
| [math]F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - [/math] дифференциальное уравнение 1-го порядка |
| Определение: |
Решением дифференциального уравнения [math](2)[/math] называется функция [math]y(x) \in C(a,b):[/math]
[math]F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0[/math] |
| Определение: |
| [math]\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - [/math] уравнение в нормальной форме. |
| Определение: |
| Изоклиной ДУ[math](3)[/math] называется кривая определяемая равенством [math]f(x,y)=k[/math], где [math]k - const , tg\alpha = k[/math]. |
Задача Коши
| Определение: |
Задача нахождения решения дифференциального уравнения [math]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)[/math], которое удовлетворяет следующим условиям:
[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0}
\end{matrix}\right.[/math]
называется задачей Коши (начальной задачей) |
в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на [math]f(x,y):[/math]
[math]f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}
\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b
\end{matrix}\right.[/math]
[math]\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M \gt 0[/math]
| Определение: |
условие Липшица:
[math]\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D[/math] для некоторой константы [math]l \gt 0[/math] |
Очевидно, условие Липшица выполняется при условии [math]\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)[/math].
| Теорема (Пикар): |
Пусть [math]f(x,y)[/math] удовлетворяет условию Липшица и [math]f(x,y) \in C(D)[/math], тогда существует единственное решение задачи Коши
[math]y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)[/math], где [math]h = min(a, \frac{b}{M})[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Мамой клянусь. А теперь попытаемся доказать.
Переформулируем задачу Коши следующим образом: [math]y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}[/math]
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: [math]y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}[/math]. Далее возможны два случая:
1) [math]y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -[/math] решение.
2) [math]f(x, y_{0}) \neq 0:[/math] предварительно докажем, что:
[math]a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]
[math]c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows y(x) \:\:[/math]
[math]d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]
а), б) База: [math] \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .[/math] По теореме Барроу [math]y_{1}(x) \: - [/math] непрерывна при [math]\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.[/math]
[math]\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.[/math]
переход доказывается аналогично.
в) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд [math]y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + ...[/math] и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.
[math]\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh[/math]
[math]\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant [/math] [math]lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2}[/math]
[math]\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =[/math] [math] \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}[/math]
[math]...[/math]
[math]\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant [/math] [math] l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
