[math] todo [/math]
| Определение: |
| уравнение вида [math]\frac{dy}{dx}= f(\frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}}) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному |
Решение:
1) [math]\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1}\\
a_{2} & b_{2}
\end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x = u + \alpha \\
y = v + \beta
\end{matrix}\right. [/math]
[math] (\alpha, \beta) : \left\{\begin{matrix}
a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\
a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0
\end{matrix}\right.[/math]
Тогда получаем однородное уравнение.
2) [math]\begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1}\\
a_{2} & b_{2}
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
[/math] пусть [math]a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = t
[/math]
а где доказательство?
| Определение: |
| уравнение вида [math]\frac{dy}{dx} = p(x) y + q(x)(5)[/math] называется линейным уравнением [math]I[/math] порядка |
| Определение: |
| Если [math]q(x) = 0[/math], то уравнение [math](5) [/math] называется однородным линейным уравнением [math]I[/math] порядка |
Способ решения методом Бернулли
Пусть [math] y(x) = u(x) v(x)[/math], тогда:
[math] u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) [/math]
[math]
u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) - p(x) v(x)] = q(x)
[/math], назовем это уравнение [math](5a)[/math]
Пусть [math] v(x) [/math] такого, что:
[math] v'(x) - p(x) v(x) = 0 [/math]
Тогда:
[math]\frac{dv(x)}{dx} - p(x) v(x) = 0 [/math]. Домножим на [math] \frac{dx}{dv(x)} [/math]
[math]\frac{dv}{v} - p(x) dx = 0 [/math]. Отсюда получаем:
[math]ln(v) = \int p(x)dx + C[/math]
[math]v(x) = e^{C+ \int p(x)dx} = C e^{\int p(x)dx}[/math]
Пусть [math] C = 1[/math]. Тогда из [math](5a)[/math] получаем:
[math] u'(x) e^{\int p(x)dx} = q(x) [/math]
[math] u(x) = \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1} [/math]. Тогда
[math]y(x) = e^{\int p(x)dx} [ \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1}] [/math]
Способ решения методом Лагранжа
Рассмотрим:
[math] \frac{dx}{dy} = p(x) y [/math]
Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H):
[math] y_{O.O} = C e^{\int p(x)dx}[/math] (из док-ва Бернулли)
Пусть:
[math] y_{O.H} = C(x) e^{\int p(x)dx}[/math]
[math] C'(x) e^{\int p(x)dx} + C(x) p(x) e^{\int p(x)dx} = p(x) C(x) e^{\int p(x)dx} + q(x) [/math]
[math] C'(x) = q(x) e^{-\int p(x)dx} [/math]
[math] C(x) = \int q(x) C(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1} [/math]
[math]y(x) = e^{\int p(x)dx} [ \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1}] [/math]
| Определение: |
| Уравнение вида: [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (6)[/math] называется уравнением в полных дифференциалах, если [math](6) = du(x, y)[/math] |
т.к. [math]du(x, y) = 0 \Leftrightarrow u(x, y) = C \: -[/math] общий интеграл.
| Теорема: |
Пусть [math]M(x, y), N(x, y) \in C(G)[/math], где G - односвязная область, и [math]\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}, \: \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} \in C(G)[/math];
Тогда [math]Mdx + Ndy = du \: \Leftrightarrow \frac{\partial M(x, y)}{\partial y} \equiv \frac{\partial n(x, y)}{\partial x} [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
сами доказывайте. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Решение: [math]u(x, y) = \int_{x_{0}}^{x}M(x, y)dx + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0}, y)dy = C \: - [/math] Общее решение.
в условиях предыдущего определения, но [math]\frac{\partial M}{\partial y} \not\equiv \frac{\partial N}{\partial x}[/math]. Домножим (6) на [math]\mu(x, y): \:[/math]
[math]M \frac{\partial \mu}{\partial y} + \mu \frac{\partial M }{\partial y} = N \frac{\partial \mu}{\partial x} + \mu \frac{\partial N}{\partial x} \: \Rightarrow \: M \frac{\partial \mu}{\partial y} - N \frac{\partial \mu}{\partial x} = \mu (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}) \: (*)[/math]
| Утверждение: |
Пусть [math]\exists \omega (x, y) \in C'(G): \:\:[/math] [math] \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{ N \frac{\partial \omega}{\partial x} - M \frac{\partial \omega}{\partial y}} = \psi(\omega) \: \Rightarrow \mu = e^{\int \psi(\omega)d\omega}[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math]\mu = h(\omega) \: \Rightarrow \: M \frac{dh}{d\omega}\frac{\partial \omega}{\partial y} - N \frac{dh}{d\omega}\frac{\partial \omega}{\partial x} = h(\omega)(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})[/math]
перегреппируем: [math]\frac{dh}{d\omega} = h(\omega)\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})}{M\frac{\partial \omega}{\partial y} - N \frac{\partial \omega}{\partial x}} \: \Rightarrow[/math]
[math]\frac{dh}{d\omega} = h(\omega)\psi(\omega)[/math]
[math]\mu(x, y) = h(\omega) = e^{\int\psi(\omega)d\omega}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
только как решать все равно не понятно.
