Гамильтоновы графы

Граф додекаэдра с выделенным циклом Гамильтона

Основные определения

Определение:

Гамильтоновым путём (англ. Hamiltonian path) называется простой путь, приходящий через каждую вершину графа ровно один раз.

Определение:

Гамильтоновым циклом (англ. Hamiltonian cycle) называют замкнутый гамильтонов путь.

Определение:

Граф называется полугамильтоновым (англ. Semihamiltonian graph), если он содержит гамильтонов путь.

Определение:

Граф называется гамильтоновым (англ. Hamiltonian graph), если он содержит гамильтонов цикл.

Очевидно, что любой гамильтонов граф также и полугамильтонов.

Достаточные условия гамильтоновости графа

Теорема Дирака

Теорема:

Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\deg\ v \geqslant n/2[/math] для любой вершины [math]v[/math] неориентированного графа [math]G[/math], то [math]G[/math] - гамильтонов граф.

Теорема Оре

Теорема:

Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\deg\ u + deg\ v \geqslant n[/math] для любых двух различных несмежных вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] неориентированного графа [math]G[/math], то [math]G[/math] - гамильтонов граф.

Теорема Поша

Теорема (Поша):

Пусть граф [math] G [/math] имеет [math]n \geqslant 3[/math] вершин и выполнены следующие два условия: для всякого [math]k,\, 1 \leqslant k \lt (n-1)/2[/math], число вершин со степенями, не превосходящими [math]k[/math], меньше чем [math]k[/math]; для нечетного [math]n[/math] число вершин степени [math](n-1)/2[/math] не превосходит [math](n-1)/2[/math], тогда [math] G [/math] — гамильтонов граф.

Теорема Редеи-Камиона

Теорема:

Любой сильносвязный турнир - гамильтонов.

Теорема Гуйя-Ури

Теорема (Ghouila-Houri):

Пусть G - сильносвязный ориентированный граф. [math] \begin{matrix} deg^+ v \geq n/2 \\ deg^- v \geq n/2 \\ \end{matrix} \Bigg\} \rightarrow [/math] G - гамильтонов.

Теорема Хватала

Теорема (Хватал):

Пусть: [math] G [/math] — связный граф, [math] n = |VG| \geq 3 [/math] — количество вершин, [math] d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n [/math] — его последовательность степеней. Тогда если [math] \forall k \in \mathbb N [/math] верна импликация: [math] d_k \leq k \lt n/2 \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k, (*) [/math] то граф [math] G [/math] гамильтонов.

Алгоритм нахождения гамильтового цикла

Приведём два алгоритма поиска гамильтонова цикла.

bool check_hamiltonian(graph g, bool[] used, int vert, int count, int[] next):
  if (count == g.vertices)
    next[vert] = 0
    return (vert; 0) in g.edges
  for i = 0 to g.vertices
    if (!used[i] && (vert; i) in g.edges)
      used[i] = true
      next[vert] = i
      if (check_hamiltonian(g, used, i, count + 1, next))
        return true
      used[i] = false
  return false

• used — отметки о посещении
• vert — текущая вершина
• count — количество посещённых вершин

Приведённая процедура работает следующим образом: перебираются всё рёбра из текущей вершины в ещё не посещённые. Чтобы проверить граф на гамильтоновость, необходимо запустить процедуру из вершины с номером 0 и параметром count = 1. Если процедура возвращает true, то в массиве next будет храниться следующая вершина на гамильтоновом цикле. Этот алгоритм в худшем случае перебирает [math](n - 1)![/math] путей, что даёт сложность работы [math]O(n!)[/math].

Приведём алгоритм, основанный на динамическом программировании, который работает значительно быстрее. Алгоритм основан на следующей идее: будем для каждой пары из подмножества вершин и вершины считать, существует ли гамильтонов путь для этого подмножества вершин, заканчивающихся в выделенной вершине. Суммарно таких состояний будет [math]O(n2^n)[/math], для обсчёта каждого из них требуется [math]O(n)[/math] времени, то есть, суммарно алгоритм работает за [math]O(n^22^n)[/math] времени. Псевдокод, реализующий этот алгоритм, приведён ниже:

bool[][] get_dp_table(graph g):
  int n = g.vertices
  bool[][] result = new int[1 << n][n]
  for  i = 0 to n
    result[1 << i][i] = (0; i) in g.edges;
  for  i = 1 to 1 << n
    if (count(i) == 1)
      continue
    for  j = 0 to n
      if ((1 << j) & i != 0)
        for k = 0 to n
          if (k != j && (1 << k) & i != 0)
            result[i][j] = result[(1 << j) ^ i][k] && (k; j) in g.edges
  return result

В приведённом выше коде считаем, что n меньше количества бит в числовом типе данных, для операций над множествами используются побитовые логические операции в синтаксисе языка C. Функция count считает количество единичных бит в числе (она проста в реализации, но не относится к алгоритма, поэтому не приводится). Граф гамильтонов тогда, когда dp[(1 << n) - 1][i] && (i; 0) [math]\in[/math] g.edges для некоторого i.

Источники

• Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.
• Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++. Алгоритмы на графах. — СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002.
• Гамильтонов граф