Игра «Жизнь»

Игра «Жизнь» (англ. Conway's Game of Life) — клеточный автомат, придуманный английским математиком Джоном Конвеем в 1970.

Правила

Правило 1. Действие происходит на бесконечной плоскости, разделенной на клетки, которую можно иногда представить как зацикленную конечную.

Правило 2. Каждая клетка может находиться в двух состояниях: быть живой или быть мёртвой.

Правило 3. У каждой клетки [math]8[/math] соседей.

Правило 4. Если клетка жива и у нее [math]2-3[/math] живых соседа, то она остается живой, иначе умирает.

Правило 5. Если клетка мертва и у нее [math]3[/math] живых соседа, то она становится живой, иначе остается мертвой.

Правило 6. Игра прекращается, если на поле не останется ни одной живой клетки.

Правило 7. Игра прекращается, если при очередном шаге ни одна из клеток не меняет своего состояния.

Правило 8. Игра прекращается, если конфигурация на очередном шаге в точности повторит себя же на одном из более ранних шагов.

Универсальность

Теорема:

Игра «Жизнь» вычисляет то же множество функций, что и МТ.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Базовые конструкции Glider gun Glider eater Для того, чтобы доказать этот факт, докажем возможность построения всех возможных машин Тьюринга. В состав МТ входит: неограниченная в обе стороны лента, разделённая на ячейки, управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Доказательство строится на том, что простая логика, необходимая для построения МТ, может быть построена в игре «Жизнь». Базовые конструкции Рассмотрим базовые конструкции необходимые для построения этих элементов МТ. В игры «Жизнь» можно построить различные конструкции (см. рис.): стабильные — не меняются с течением времени (первые два ряда), циклические — принимают исходное положение каждые [math]n[/math] итераций (третий ряд), планер (glider) — фигура, которая смещается на одну клетку вниз и в право каждые [math]4[/math] итерации (четвертый ряд), космический корабль — фигура, которая смещается ортогонально на [math]1[/math] клетку каждые [math]4[/math] итерации, glider gun — фигура, бесконечно производящая планер каждые [math]30[/math] итераций, glider eater — фигура, поглощающая планеры. Память Стабильная ячейка Передача данных Ячейки памяти можно построить с помощью стабильныx конструкций, т.е. мы можем построить ленту МТ. Передачу данных можно осуществлять c помощью планеров: наличие планера — [math]1[/math], отсутствие — [math]0[/math]. Булевы функции Заметим, что управляющая часть МТ считывает с ленты входную строчку и завершается, записав на ленту выходную строчку. Без ограничения общности, будем рассматривать бинарные строки. Следовательно, управляющая часть МТ есть функция вида [math]f:\{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^m [/math]. Заметим, что можно построить функции такого вида из булевых функций [math]f_i:\{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}[/math]: [math]f(x_1, x_2, x_3 ... x_n) = f(f_1(x_1, x_2, x_3 ... x_n), f_2(x_1, x_2, x_3 ... x_n), ... f_m(x_1, x_2, x_3 ... x_n) [/math]. Каждая МТ вычисляет определенную вычислимую функцию. Так как мы можем записать управляющий автомат в виде строки, можно подать МТ и входные данные на вход другой МТ. Следовательно, достаточно построить универсальную МТ. Если показать, что мы можем построить в игре «Жизнь» любую булеву функцию, то мы сможем построить булеву функцию УМТ. Так как [math]\triangledown[/math] (штрих Шеффера или NAND) является полной системой, то достаточно построить [math]NOT[/math] и [math]AND[/math]. Построение NOT Рассмотрим поток данных, состоящий из планеров. Наличие планера — [math]1[/math], отсутствие — [math]0[/math]. Добавим поток планеров, состоящий только из [math]1[/math]. При столкновении планеры исчезают, следовательно на месте [math]1[/math] образуется [math]0[/math] и наоборот. Построение AND См. рисунок. Пусть [math]AND(x, y)[/math], тогда y соударяется с [math]NOT(x)[/math]. Если [math]NOT(x) = 1[/math], то на выходе ничего не попадет, если [math]NOT( x) = 0[/math], то просто пройдет [math]y[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Проблема останова игры «Жизнь» неразрешима.

[math]\triangleright[/math]

Заметим, что если существует МТ, которая по начальной конфигурации игры «Жизнь» может определить, завершается ли она, то та же МТ может определить останавливается ли любая МТ, что противоречит неразрешимости проблемы останова для МТ.

[math]\triangleleft[/math]

См.также

• Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка
• Задача о выводе в полусистеме Туэ
• Задача о замощении
• Однозначность грамматики
• Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-грамматик
• Неразрешимость проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах

Источники информации

• Википедия — Жизнь (игра)
• Proving Life is Universal